7筑波大学 2005年 数学 第7問解答・解説

(1) 問題文が指定するBASICでは、入力した $N,A$ に対し $B=N-A^2$、初項 $X=A$ として次のように書ける。各反復でまず現在値の条件を判定するため、$x_0$ も対象に含まれる。 $$\begin{array}{l} 10\ \texttt{INPUT N,A}\\ 20\ \texttt{B=N-A*A}\\ 30\ \texttt{X=A}\\ 40\ \texttt{IF ABS(X*X-N)<0.0001 THEN 80}\\ 50\ \texttt{X=A+B/(X+A)}\\ 60\ \texttt{GOTO 40}\\ 80\ \texttt{PRINT X}\\ 90\ \texttt{END} \end{array}$$ (2) $r=\sqrt N$ とおけば $b=N-a^2=(r-a)(r+a)$。したがって $$\displaystyle x_{n+1}-r=a-r+\frac{b}{x_n+a} =\frac{(a-r)(x_n-r)}{x_n+a}.$$ (3) $b>0$ なら $a<r<a+1$。また $x_0=a$ で、$x_n\ge a$ なら $x_{n+1}=a+b/(x_n+a)>a$ だから常に $x_n\ge a$ である。$b>0$ なら $N$ は平方数でなく$r$は無理数である。各$x_n$は整数から始まり漸化式で有理数の演算を繰り返すので有理数であり、$x_n\ne r$。よって誤差係数は $$\displaystyle \frac{a-r}{x_n+a}<0,\qquad \left|\frac{a-r}{x_n+a}\right|=\frac{r-a}{x_n+a}<\frac1{2a}\le\frac12<1.$$ (2)より誤差の符号は毎回反転し、絶対値は小さくなる。$x_0<r$ なので偶数項は $r$ より小さく単調増加し、奇数項は $r$ より大きく単調減少する。従って $$x_0<x_2<\cdots<x_{2k}<r<x_{2k+1}<\cdots<x_3<x_1.$$ (4) $b=0$ なら $x_n=a=\sqrt N$。$b>0$ では $\rho=(r-a)/(2a)<1$ とすれば $$|x_{n+1}-r|\le\rho|x_n-r|,\qquad |x_n-r|\le\rho^n|x_0-r|\to0.$$ ゆえに $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=\sqrt N$。