1筑波大学 2005年 数学 第1問解答・解説

積分値を $\displaystyle J=\int_0^{\pi/2}f(t)\sin t\,dt$ とおくと、与式から $\displaystyle f(x)=ax+\frac14J^4$ である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}J&=a\int_0^{\pi/2}t\sin t\,dt+\frac14J^4\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt\\&=a+\frac14J^4, \end{aligned}$$ここで部分積分により $\displaystyle \int_0^{\pi/2}t\sin t\,dt=1$、また $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin t\,dt=1$ を用いた。よって$$\displaystyle a=\Phi(J),\qquad \Phi(u)=u-\frac{u^4}{4}.$$

逆に、この方程式を満たす実数 $J$ があれば $\displaystyle f(x)=ax+\frac14J^4$ と定めると、その積分値は $\displaystyle a+\frac14J^4=J$ となり、元の関係式を満たす。したがって、関数 $f$ の個数は $a=\Phi(J)$ の実数解 $J$ の個数に等しい。

$$\Phi'(u)=1-u^3.$$ よって $u<1$ では増加し、$u>1$ では減少する。また $u\to\pm\infty$ で $\Phi(u)\to-\infty$ だから、最大値は $\displaystyle \Phi(1)=\frac34$ である。したがって $\displaystyle a<\frac34$ のときは実数解が2個、$\displaystyle a=\frac34$ のときは $J=1$ の1個、$\displaystyle a>\frac34$ のときは0個である。関数 $f$ がただ一つ存在するのは $\displaystyle \boxed{a=\frac34}$ のときに限る。

積分値を $J$ とおくと、関数は $\displaystyle ax+\frac{J^4}{4}$ に定まる。部分積分により $\displaystyle J=a+\frac{J^4}{4}$ を得る。逆も成り立つので、関数の個数はこの方程式の解数に等しい。$\displaystyle \Phi(u)=u-\frac{u^4}{4}$ の最大値は $\displaystyle \frac34$ で、そのときだけ解は一つ。