4宮崎大学 2008年 数学 第4問解答・解説

部分積分により、$$\displaystyle \int t^2\log t\,dt=\frac{t^3}{3}\log t-\frac{t^3}{9},\qquad \int t\log t\,dt=\frac{t^2}{2}\log t-\frac{t^2}{4}$$である。したがって、$$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^{2x}(3t-4x)t\log t\,dt&=\left[t^3\log t-\frac{t^3}{3}-2xt^2\log t+xt^2\right]_1^{2x}\\&=\frac{4}{3}x^3-x+\frac{1}{3},\end{aligned}$$となる。よって $x>0$ において $$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x^3-\frac{x}{2}+\frac{1}{3},\qquad f'(x)=4x^2-\frac{1}{2}.$$（1）$f'(x)=0$ とすると $\displaystyle x^2=\frac18$ であり、定義域は $x>0$ だから、$$\displaystyle x=\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$（2）$\displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ とおくと、$0<x<a$ では $f'(x)<0$、$x>a$ では $f'(x)>0$ である。したがって $x=a$ で極小となる。その値は $$\displaystyle f(a)=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^3-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6\sqrt{2}}=\frac{4-\sqrt{2}}{12}.$$よって極小値は $\displaystyle \frac{4-\sqrt{2}}{12}$ であり、極大値はない。