宮崎大学 2008年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数三角関数

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1問題

宮崎大学2008年度第1問

次の各問に答えよ。

(1) 不等式 $\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}(x-1)+\log_{3}(x+1)>3$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

(2) $\displaystyle \frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{2}$ のとき，等式 $(1+\sqrt{3})\sin x\tan x=2\sqrt{3}\sin x+(1-\sqrt{3})\cos x$ を満たす $x$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) 1<x<14/13$ 。 $(2) x=π/4$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 真数条件から $x>1$ 。また $\log_{1/3}(x-1)=-\log_3(x-1)$ だから $\displaystyle \log_3\frac{x+1}{x-1}>\log_3 27.$ 底3の対数は増加し、 $x-1>0$ なので $\displaystyle \frac{x+1}{x-1}>27 \quad\text{すなわち}\quad x+1>27x-27 \quad\text{すなわち}\quad x<\frac{14}{13}.$ 従って $1<x<14/13$ 。 (2) $\cos x>0$ なので方程式を $\cos x$ で割り、 $t=\tan x$ と置くと $(1+\sqrt3)t^2-2\sqrt3t-(1-\sqrt3)=0.$ 根は $t=1,2-\sqrt3$ 。与えられた範囲から $t\ge1/\sqrt3$ 、一方 $2-\sqrt3<1/\sqrt3$ なので後者は除く。 $t=1$ から $x=\pi/4$ 。

この問題で使う考え方

真数条件と底の変換
単調性による不等式変形
tan置換と根の範囲選別

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