1北里大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 漸化式を$n+1$に対して用いると $$a_n=(n+2)(a_{n+1}-a_{n+2}).$$ これより $$b_{n+1}=(n+2)a_{n+2}-a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-a_n=b_n.$$ また$b_1=2a_2-a_1=0$だから、すべての$n$で$b_n=0$。従って$(n+1)a_{n+1}=a_n$であり、初項$a_1=1$から帰納的に$a_n=1/n!$。実際、この式は$a_2=1/2$を満たし、漸化式の右辺も$(n+1)(1/n!-1/(n+1)!)=1/(n-1)!=a_{n-1}$となる。　 (2) 不等式の左辺は$(n-27)(n-30)$なので、自然数$n$は$27\le n\le30$。$f(x)=\sin2x$の導関数は$f^{(n)}(0)=2^n\sin(n\pi/2)$であり、正となるには$n\equiv1\pmod4$が必要である。この範囲の候補は$n=29$だけで、そのとき$f^{(29)}(0)=2^{29}>0$。よって $$\displaystyle \log_4 f^{(29)}(0)=\log_4 2^{29}=\frac{29}{2}.$$ 　 (3) いずれの袋も合計9球で、各袋からの抽出は独立である。同色となる場合の組数は $$2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot2+4\cdot2\cdot3=72,$$ よって確率は$72/9^3=8/81$。全異色となる6通りの色の割当ての組数は $$2\cdot4\cdot3+2\cdot2\cdot2+3\cdot3\cdot3+3\cdot2\cdot4+4\cdot3\cdot2+4\cdot4\cdot4=171,$$ したがって確率は$171/9^3=19/81$。　 (4) 図のように$R$は$A,B$の間にあり、$P,Q$は同じ側にある。1点から同一円に引いた接線の長さは等しいので、$RA=RP=u$、$RB=RQ=v$とおける。従って$u+v=AB=5$、$u-v=PQ=3$より$u=4,v=1$、特に$AR=4$。外接線$AB$への中心の垂直距離の差は$r-r'$、内接線$PQ$への距離の和は$r+r'$である。接点間の線分を水平成分とする直角三角形をそれぞれ作ると $$OO'^2=AB^2+(r-r')^2=PQ^2+(r+r')^2=49.$$ ゆえに$r-r'=\sqrt{24}=2\sqrt6$、$r+r'=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。$r>r'$と合わせて$r=\sqrt{10}+\sqrt6$、$r'=\sqrt{10}-\sqrt6$。　 (5) $x=\cos\theta,y=\sin\theta$とおけば $$\displaystyle 2x^2+xy-2y^2=2\cos2\theta+\frac12\sin2\theta.$$ 右辺は振幅$\sqrt{2^2+(1/2)^2}=\sqrt{17}/2$の正弦波であり、$2\theta$は一周分を動くため最大値と最小値はそれぞれ$\sqrt{17}/2,-\sqrt{17}/2$。