2北里大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) 行列の等式は、$P$の第1列と第2列に$A$を掛けると、それぞれ元の列の$a$倍、$b$倍になることを意味する。第1列$(2,-1)^T$について $$A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-t\\-3\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$$ だから$a=3,t=-2$。第2列$(x,2)^T$について $$A\begin{pmatrix}x\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-4\\-2x-2\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}x\\2\end{pmatrix}.$$ 下段から$b=-x-1$。上段に代入して$x^2+3x-4=0$、従って$x=1$または$-4$。しかし$\det P=4+x\ne0$なので$x=-4$は除かれ、$x=1,b=-2$。確認すると$AP=P\operatorname{diag}(3,-2)$かつ$\det P=5$。

(2) $A=PDP^{-1}$、ただし$D=\operatorname{diag}(3,-2)$であり、 $$\displaystyle P^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}.$$ 従って自然数$n$について $$\displaystyle A^n=PD^nP^{-1} =\frac15\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3^n&0\\0&(-2)^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix} =\frac15\begin{pmatrix} 4\cdot3^n+(-2)^n&-2\cdot3^n+2(-2)^n\\ -2\cdot3^n+2(-2)^n&3^n+4(-2)^n \end{pmatrix}.$$ $n=1$を代入すると元の$A=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&-1\end{pmatrix}$に戻るため、積の順序と符号も確認できる。