1名古屋大学 2007年 数学 第1問解答・解説

上三角行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}$ と単位行列 $E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ に対して、成分ごとに掛け算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2&b(a+d)\\0&d^2\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}a^3&b(a^2+ad+d^2)\\0&d^3\end{pmatrix}.$$

(1) $A^2=E$ であるための条件は $$a^2=1,\qquad d^2=1,\qquad b(a+d)=0$$ である。$a,d$ は実数なので、$a=\pm1$、$d=\pm1$ である。$a=d=1$ の場合は $2b=0$ から $b=0$、$a=d=-1$ の場合も $-2b=0$ から $b=0$ となる。一方、$a+d=0$ となる組 $(a,d)=(1,-1),(-1,1)$ では、$b$ は任意の実数でよい。したがって、求める行列は $$E,\quad -E,\quad \begin{pmatrix}1&t\\0&-1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-1&t\\0&1\end{pmatrix} \qquad(t\text{ は任意の実数}).$$

(2) $A^3=E$ なら、対角成分より $a^3=d^3=1$ である。実数の3乗が $1$ となるのは $1$ のみなので $a=d=1$ である。このとき右上成分の条件は $3b=0$ となり、$b=0$ である。よって $A=E$ のみ。

(3) さらに成分ごとに掛けると $$A^4=\begin{pmatrix} a^4&b(a^3+a^2d+ad^2+d^3)\\0&d^4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^4&b(a+d)(a^2+d^2)\\0&d^4\end{pmatrix}.$$ $A^4=E$ より $a^4=d^4=1$ であり、$a,d$ は実数だから $a^2=d^2=1$、従って $a^2+d^2=2$ である。また右上成分について $2b(a+d)=0$ である。これらを $A^2$ の式に代入すると、対角成分はともに $1$、右上成分は $b(a+d)=0$ となる。ゆえに $A^2=E$ である。