2名古屋大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) 因数分解すると $$f(x)=2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x+1),\qquad f'(x)=6x(x-1).$$ したがって $x<0$ で増加、$0<x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。x切片は $(-1/2,0)$ と $(1,0)$ で、$x=1$ ではx軸に接する。極大点は $(0,1)$、極小点は $(1,0)$。左端で $f(x)\to-\infty$、右端で $f(x)\to+\infty$ となる。実際の概形は別添図に示す。

(2) $f(x)=a$ を整理すると $2x^3-3x^2+(1-a)=0$。根を $\alpha,\beta,\gamma$ として $$2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=2x^3-3x^2+(1-a)$$ を展開し係数を比べると $$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\frac32,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0.$$ よって $\displaystyle \alpha+\gamma=\frac32-\beta$、また $\displaystyle \alpha\gamma=-\beta(\alpha+\gamma)=\beta^2-\frac32\beta$。したがって $$\displaystyle \ell^2=(\gamma-\alpha)^2=(\alpha+\gamma)^2-4\alpha\gamma=\frac94+3\beta-3\beta^2.$$ $\gamma>\alpha$ だから $\displaystyle \ell=\sqrt{\frac94+3\beta-3\beta^2}$。

(3) $f$ は $x=0$ で極大値1、$x=1$ で極小値0をとるので、相異なる3実根をもつ条件は $0<a<1$。そのとき中央根 $\beta$ は $0<\beta<1$ を満たす。また $f$ は $0<x<1$ で1から0へ単調に減少するため、$a$ が $0<a<1$ を動くと $\beta$ は $0<\beta<1$ の範囲全体を動く。すると $$\displaystyle \ell^2=\frac94+3\beta(1-\beta),\qquad 0<\beta(1-\beta)\leq\frac14.$$ ゆえに $\displaystyle \frac94<\ell^2\leq3$、すなわち $\displaystyle \frac32<\ell\leq\sqrt3$。上端は $\beta=1/2$（$a=f(1/2)=1/2$）で達し、下端は達しない。