1昭和大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) まず $2a-1>0$ と $a^2-2a>0$ が必要なので $a>2$。この範囲で3つの三角不等式はそれぞれ $a-2>0$, $3a>0$, $(2a-1)(a-2)>0$ となり、確かに三角形が成立する。3番目の辺 $a^2-a+1$ は残り2辺よりそれぞれ $(a-1)(a-2)$ と $a+1$ だけ長い。余弦定理でこの辺の対角の余弦を計算すると $-1/2$ なので、最大角は120度。

(2) 因数分解で既知の因子 $x+1$ を取り出す。二次因子の判別式が0となる値は $a=3,-1$ だが、$a=3$ は三重解になるので除く。$a=-1$ は二重解 $x=1$ を与える。

(3) では $x=2-a$ を代入すると積分区間が一点に縮むため、$a=2$ が直接分かる。$f(x)=2x-4$ は式を積分して確かめられるが、一点の値だけを変えた関数も積分を変えず式を満たす。よって原文だけでは $f$ は一意でない。連続性を追加すれば、積分の上端を微分して全点で $f(x)=2x-4$ と決まる。

(4) $|x|<1$ と $|x|>1$ では指数項の大小関係が変わるため、極限関数は前者で $1+ax+2\cos bx$、後者で $x$ となる。境界 $x=1,-1$ で内側と外側の極限を合わせる2式を解けば $a=1$ と $\cos b=-1/2$。正の最小の $b$ は $2\pi/3$。元の極限式へ $x=\pm1$ を代入した値も左右極限と一致する。

(5) $t=1/x$ によって分子を $\log(1-7t)$、分母を $\sin t$ にする。既知の極限 $\log(1+u)/u\to1$ と $t/\sin t\to1$ から $-7$。

**答え**

- (1-1) $a^2-a+1$、(1-2) $120^\circ$ - (2) $a=-1$ - (3) $a=2$、原文では $f$ は一意でない（$2x-4$ と、一点だけ値を変えた関数がともに解）；連続性を追加すれば全点で $f(x)=2x-4$ - (4) $a=1,\ b=2\pi/3$ - (5) $-7$