4昭和大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) 4種類から異なる3枚を選び、順に並べるので $${}_4P_3=4\cdot3\cdot2=24$$ 通り。

(2-1) Tを含む3枚の選び方は、残り2枚をA,C,Gから選ぶ$\displaystyle \binom32=3$通りであり、各組の並べ方は$3!=6$通り。従って事象IIの結果は18通り。同時にAがCより左にあるにはA,C,Tの3枚が選ばれ、AとCの順序が半分の3通りとなる。よって $$\displaystyle \Pr(I\mid II)=\frac{3}{18}=\frac16.$$

(2-2) 事象IにはA,Cがともに必要で、3枚目はGまたはT。各選び方につきAがCより左となる並べ方は3通りなので、Iは$2\cdot3=6$通り、$\Pr(I)=6/24=1/4$。またIIは18通りで$\Pr(II)=18/24=3/4$。IとIIの両方が起こるのはA,C,Tを選んでAがCより左に並ぶ3通りだから、 $$\displaystyle \Pr(I\cap II)=\frac3{24}=\frac18 \ne \frac14\cdot\frac34=\Pr(I)\Pr(II).$$ 従ってIとIIは独立ではない。

(3) 同じ文字の札は区別しないので、9枚の並べ方は $$\displaystyle \frac{9!}{3!\,3!\,2!\,1!}=5040$$ 通り。

(4) 各3枚のブロックが(1)に現れる並べ方となるには、各ブロックで3文字がすべて異なる必要がある。従って各ブロックはA,C,G,Tのうち1種類を欠く。全体でAは3枚、Gは3枚あるので、3ブロックすべてにA,Gが1枚ずつ入り、Cは1ブロックで欠け、Tは2ブロックで欠ける。従ってCを欠くブロックを選ぶ方法は3通りであり、各ブロックの3文字の並べ方はそれぞれ$3!$通り。よって該当する並べ方は $$3(3!)^3=648$$ 通り。全体は5040通りなので、その確率は $$\displaystyle \frac{648}{5040}=\frac9{70}.$$