8千葉大学 2008年 数学 第8問解答・解説

3回の抽出値を小さい順に並べると、定義から $X$ は第2番目の値である（同じ値があっても成り立つ）。順序付きの結果は全部で $n^3$ 通りで、同様に確からしい。

(1) $X\le k$ となるのは、3回のうち少なくとも2回の番号が $1,2,\ldots,k$ に入るときである。ちょうど2回が入る場合は、入る2回の位置を $\displaystyle \binom32$ 通りに選び、各番号を $k$ 通り、残る1回を $n-k$ 通りに選ぶ。3回とも入る場合は $k^3$ 通りだから、 $$\displaystyle P(X\le k)=\frac{\binom32 k^2(n-k)+k^3}{n^3}=\frac{3k^2(n-k)+k^3}{n^3}=\frac{k^2(3n-2k)}{n^3}.$$

(2) $X=k$ となる結果を分けて数える。3回とも $k$ なら1通り、ちょうど2回が $k$ なら残りの番号とその位置の選び方から $3(n-1)$ 通りである。3個の番号が全て異なる場合は、中央値が $k$ となるよう小さい番号を $k-1$ 通り、大きい番号を $n-k$ 通り選び、3個を並べるので $3!(k-1)(n-k)$ 通り。したがって $$\displaystyle P(X=k)=\frac{1+3(n-1)+3!(k-1)(n-k)}{n^3}=\frac{3n-2+6(k-1)(n-k)}{n^3}.$$

(3) この確率で $k$ によって変わる部分は $(k-1)(n-k)$ だけである。 $$\displaystyle t=k-1\quad(0\le t\le n-1)\text{ とおくと }(k-1)(n-k)=t(n-1-t)=\frac{(n-1)^2}{4}-\left(t-\frac{n-1}{2}\right)^2.$$ よって $t$ は $(n-1)/2$ に最も近い整数で最大となる。したがって、 $$\displaystyle n\text{ が奇数なら }k=\frac{n+1}{2},\qquad n\text{ が偶数なら }k=\frac n2,\frac n2+1.$$