10千葉大学 2008年 数学 第10問解答・解説

$A$ は角 $\pi/6$ の反時計回り回転を表すので、$A^m=E$ となる最小の自然数は $m=12$。また $B$ は $x$ 軸対称で $B^2=E,\ B\ne E$ より、最小の $n$ は $2$ である。 (2) $P$ の偏角を $\theta$ とする。各移動は単位円を保ち、 $$\displaystyle \arg Q\equiv-\theta,\qquad \arg R\equiv\theta+\frac{\pi}{3},\qquad \arg S\equiv\theta+\frac{k\pi}{6}\pmod{2\pi}.$$ 単位円に内接する正三角形では、頂点間の偏角差は $\pm2\pi/3\pmod{2\pi}$。特に $$\displaystyle \arg S-\arg R\equiv\frac{(k-2)\pi}{6}\equiv\pm\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi},$$ したがって $k-2\equiv\pm4\pmod{12}$。範囲 $1\le k\le12$ から $k=6,10$。 $k=6$ のとき $\arg R=\theta+\pi/3,\ \arg S=\theta+\pi$ なので、残る頂点 $Q$ の偏角は $\theta+5\pi/3$。よって $$\displaystyle -\theta\equiv\theta+\frac{5\pi}{3}\pmod{2\pi} \text{より} \theta\equiv\frac{\pi}{6}\pmod{\pi}.$$ したがって $\theta=\pi/6,7\pi/6$、すなわち $P=(\sqrt3/2,1/2),(-\sqrt3/2,-1/2)$。 $k=10$ のとき $\arg S=\theta+5\pi/3$ であり、残る頂点 $Q$ の偏角は $\theta+\pi$。したがって $$\displaystyle -\theta\equiv\theta+\pi\pmod{2\pi} \text{より}\theta\equiv\frac{\pi}{2}\pmod{\pi}.$$ よって $\theta=\pi/2,3\pi/2$、すなわち $P=(0,1),(0,-1)$。