5千葉大学 2008年 数学 第5問解答・解説

(1) $\displaystyle x=\frac{m}{n} (m\text{ は整数}, n\text{ は正の整数}, \gcd(m,n)=1)$ とおく。仮定より $$\displaystyle \frac{7m^2}{n^2}\text{ は整数},\qquad n^2\mid 7m^2.$$ もし $n$ に素因数 $q$ があれば $q\nmid m$ であり、$q^2\mid 7m^2$ となる。$q\ne7$ なら $q$ は $7m^2$ を割らず、$q=7$ なら $7\nmid m$ より $7^2$ は $7m^2$ を割らない。いずれも矛盾するので $n=1$。よって $x=m\text{ は整数}$。 $$\text{(2)}\quad a^2-7b^2\equiv0\pmod4.$$ 平方数は 4 を法として 0 または 1 であり、$7\equiv3\pmod4$ である。$b$ が奇数なら $b^2\equiv1\pmod4$ なので $a^2\equiv3\pmod4$ となるが、これは平方数の剰余に反する。従って $b$ は偶数である。すると $7b^2\equiv0\pmod4$ だから $a^2\equiv0\pmod4$ となり、$a$ も偶数である。 $$\displaystyle \text{(3)}\quad N=\left(\frac r2\right)^2-7s^2\text{ は整数}$$ とする。$s\text{ は有理数}$ より $2s\text{ は有理数}$ であり、 $$7(2s)^2=r^2-4N\text{ は整数}.$$

(1)を $x=2s$ に適用すると、$2s$ は整数である。そこで $t=2s$ とおく。元の式は $$\displaystyle N=\frac{r^2-7t^2}{4}\text{ は整数}$$ となる。もし $t$ が奇数なら $t^2\equiv1\pmod4$ より $r^2\equiv7t^2\equiv3\pmod4$ となり、平方数の剰余に反する。よって $t$ は偶数であり、$s=t/2\text{ は整数}$。