4三重大学 2010年 数学 第4問解答・解説

(1) $X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}$ とおき、両辺を成分比較する。 $$\begin{pmatrix}p&q\\0&p\end{pmatrix}X =\begin{pmatrix}px+qz&py+qw\\pz&pw\end{pmatrix},\qquad X\begin{pmatrix}p&q\\0&p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}px&qx+py\\pz&qz+pw\end{pmatrix}.$$ $q\ne0$ より $z=0,w=x$。従って $X=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}$ の形である。

(2) $n=1$ では右辺は $X$ そのものなので成立する。成立を仮定し、右から $X$ を掛けると $$X^{n+1}= \begin{pmatrix}a^n&na^{n-1}b\\0&a^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^{n+1}&(n+1)a^nb\\0&a^{n+1}\end{pmatrix}.$$ よって数学的帰納法で全ての自然数 $n$ について成立する。

(3) (1)より $X=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}$ で、$a,b$ は0以上の整数である。(2)を用いて差を計算すると $$X^{n+1}-X^n= \begin{pmatrix} a^n(a-1)&a^{n-1}\{(n+1)a-n\}b\\ 0&a^n(a-1) \end{pmatrix}.$$ 対角成分から $a^n(a-1)=2^{m+1}$。従って $a\ge2$、かつ $a^n$ の素因数が2だけなので $a$ は2のべきである。$a-1$ は正の奇数で積が2のべきだから $a-1=1$、すなわち $a=2$。よって $2^n=2^{m+1}$ から $m=n-1$。

非対角成分は $$2^{n-1}(n+2)b=2^{50},\qquad (n+2)b=2^{51-n}.$$ $b$ が正の整数となるには $n+2=2^k$（$k\ge2$）かつ $51-n-k\ge0$ が必要である。$n=2^k-2$ を代入すると $2^k+k\le53$ となり、$k=2,3,4,5$ のみである。従って $$(m,n)=(1,2),(5,6),(13,14),(29,30).$$ 実際、各組で $a=2$、$b=2^{51-n-k}$ とすれば条件を満たす。

問1は未知行列を一般の2×2行列として交換条件を成分比較する。問2はn=1を初期値として積を一回追加する帰納段階を示す。問3では問1・2から対角差と非対角差を式にし、対角成分が2のべきとなる条件からa=2、m=n−1を得る。残った整数条件からn+2が2のべきであることを使い、候補を全て列挙して構成行列で存在を確認した。