3和歌山県立医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式より $$a_{n+2}-pa_{n+1}=(1-p)a_{n+1}+6a_n.$$ これが $q(a_{n+1}-pa_n)$ と等しいためには $q=1-p,\ pq=-6$。したがって $$p^2-p-6=0,$$ よって $(p,q)=(3,-2)$ または $(-2,3)$。後者を使うと $$a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_n).$$ $b_n=a_{n+1}+2a_n$ とおけば $b_{n+1}=3b_n$、$b_1=3$ なので $b_n=3^n$。数列 $$\displaystyle g_n=\frac{3^n-(-2)^n}{5}$$ は $g_1=1$ かつ $g_{n+1}+2g_n=3^n$ を満たす。これは $a_1=1$ と得られた関係式 $a_{n+1}+2a_n=3^n$ から数列が一意に定まることより、 $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{3^n-(-2)^n}{5}}.$$

(2) $m$ を固定し、 $$B_n=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n,\qquad C_n=a_{m+n+1}$$ とおく。漸化式から両者とも $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n$ を満たす。実際、 $$B_{n+2}=a_{m+1}a_{n+3}+6a_ma_{n+2}=B_{n+1}+6B_n,$$ また $C_{n+2}=a_{m+n+3}=a_{m+n+2}+6a_{m+n+1}=C_{n+1}+6C_n$。 さらに $a_1=a_2=1,\ a_3=7$ より $$B_1=a_{m+1}+6a_m=C_1, \qquad B_2=7a_{m+1}+6a_m=C_2.$$ 同じ漸化式を満たし、初めの2項が等しいので全ての $n\ge1$ で $B_n=C_n$。これが示すべき等式である。

(3) $n=1$ なら $a_1=1$ であり、整数 $a_m$ は1で割り切れるので主張は成り立つ。$n\ge2$ とし、$m=kn$（$k$ は正整数）について $k$ に関する帰納法を用いる。$k=1$ では $a_{kn}=a_n$ なので成り立つ。 ある $k\ge2$ で $a_n\mid a_{(k-1)n}$ と仮定し、(2)を $m'=(k-1)n,\ n'=n-1$ に適用すると $$a_{kn}=a_{(k-1)n+1}a_n+6a_{(k-1)n}a_{n-1}.$$ 右辺の第1項は $a_n$ の倍数であり、第2項も帰納法の仮定から $a_n$ の倍数。よって $a_n\mid a_{kn}$ であり、主張が成り立つ。

(4) $$\displaystyle a_{12}=\frac{3^{12}-(-2)^{12}}5 =\frac{531441-4096}{5}=105469 =\boxed{7\cdot13\cdot19\cdot61}.$$