4和歌山県立医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) $z-\alpha$ と $z-\beta$ は、複素平面でそれぞれ点 $\alpha,\beta$ から $z$ へ向かうベクトルを表す。比が純虚数なら両ベクトルは垂直なので、タレスの定理より $z$ は線分 $\alpha\beta$ を直径とする円周上にある。比が定義されない $z=\beta$ は除き、純虚数を0でない数とする通常の定義では $z=\alpha$ も除く。 (2) 解の公式から $$\alpha=1+\sqrt3i,\qquad\beta=1-\sqrt3i,$$ したがって $$\alpha^2=-2+2\sqrt3i,\qquad\beta^2=-2-2\sqrt3i.$$ $z=x+yi$ として比を有理化すると、実部が0である条件は $$(x+2)^2+y^2=12.$$ 比の虚部は $\displaystyle \frac{-4\sqrt3(x+2)}{|z-\beta^2|^2}$。偏角が $\pi/2$ となるには虚部が正なので、求める図形は $$(x+2)^2+y^2=12,\qquad x< -2,$$ ただし端点 $(-2,\pm2\sqrt3)$ を除く。

(1) $z-\alpha$と$z-\beta$は、それぞれ複素平面で$\alpha$から$z$、$\beta$から$z$へのベクトルを表す。比 $\displaystyle \frac{z-\alpha}{z-\beta}$が純虚数なら二つのベクトルは垂直だから、タレスの定理より$z$は$\alpha\beta$を直径とする円周上にある。$z=\beta$では比が定義されず、純虚数を0でないものとする通常の定義では$z=\alpha$も除く。 (2) 解の公式から$\alpha=1+\sqrt3i$、$\beta=1-\sqrt3i$。二乗して$A=\alpha^2=(-2,2\sqrt3)$、$B=\beta^2=(-2,-2\sqrt3)$。$z=x+yi$として分数の分母を有理化すると、実部が0となる条件は$(x+2)^2+y^2=12$、虚部の符号は$-(x+2)$の符号と一致する。偏角が$\pi/2$となるには虚部が正なので$x<-2$。従って円の左半円を描き、$z=A,B$では分数が0または未定義になるので両端を除く。

(2)の軌跡。白丸の2点は含まない。