4島根大学 2021年 数学 第4問解答・解説

$u=\gamma-\alpha$、$v=\beta-\alpha$、$\displaystyle z=\dfrac{u}{v}$ とおく。3点は異なるので $u,v\ne0$。また $AB=AC$ より $|u|=|v|$ だから $|z|=1$ である。$z$ は $\overrightarrow{AB}$ から $\overrightarrow{AC}$ への向き付きの回転を表す一方、通常の角 $\angle BAC$ は無向角である。したがって $$\displaystyle \arg z=\frac{2\pi}{n}\quad\text{または}\quad-\frac{2\pi}{n}, \qquad z=e^{\pm2\pi i/n}.$$

(1) $n=3$ の場合 $$\displaystyle \boxed{\left|\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|=1}, \qquad \boxed{\arg\left(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right) =\frac{2\pi}{3}\ \text{または}\ -\frac{2\pi}{3}}.$$ どちらの符号になるかは、点 $C$ が直線 $AB$ のどちら側にあるかによる。

(2) $n=3$ では $z^3=1$ かつ $z\ne1$。よって $$0=z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$$ から $z^2+z+1=0$。$z=u/v$ を代入して $v^2$ を掛ければ $$u^2+uv+v^2=0,$$ すなわち $$\boxed{(\gamma-\alpha)^2+(\gamma-\alpha)(\beta-\alpha) +(\beta-\alpha)^2=0}.$$

(3) 一般の $n\ge3$ でも $z^n=1$ であり、$z\ne1$。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}(\gamma-\alpha)^{n-k}(\beta-\alpha)^{k-1} &=\sum\limits _{k=1}^{n}(zv)^{n-k}v^{k-1}\\ &=v^{n-1}\sum\limits _{j=0}^{n-1}z^j\\ &=v^{n-1}\frac{z^n-1}{z-1}=0. \end{aligned}$$ よって示された。

差の比は単位複素数で、頂角から偏角は向きに応じて $\pm2\pi/n$。したがって $n$ 乗して1となる。第2問は $n=3$ の因数分解、第3問は有限等比数列の和で示す。