1島根大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $x\ne0$であり、三次の展開公式から$$\displaystyle \left(x+\frac{t}{x}\right)^3=x^3+3x^2\frac{t}{x}+3x\left(\frac{t}{x}\right)^2+\left(\frac{t}{x}\right)^3=x^3+3tx+\frac{3t^2}{x}+\frac{t^3}{x^3}.$$ (2) $f(x+t/x)=(x+t/x)^3+a(x+t/x)+b$より、$$\displaystyle \begin{aligned}x^3f\left(x+\frac{t}{x}\right)&=x^3\left(x+\frac{t}{x}\right)^3+ax^3\left(x+\frac{t}{x}\right)+bx^3\\&=x^6+3tx^4+3t^2x^2+t^3+ax^4+atx^2+bx^3\\&=x^6+(a+3t)x^4+bx^3+(at+3t^2)x^2+t^3.\end{aligned}$$したがって、求める係数は順に $a+3t,\ b,\ at+3t^2$ である。 (3) $U,V>0$が $U-V=1,\ UV=1$ を満たすようにとると、$U=V+1$より $V^2+V-1=0$。よって正の解を選んで $$\displaystyle U=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad V=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ここで $u=\sqrt[3]{U},\ v=\sqrt[3]{V}$ とおけば $uv=1$、$u^3-v^3=1$である。三次の公式より $$(u-v)^3+3(u-v)=u^3-v^3=1,$$したがって $u-v$ は方程式 $x^3+3x-1=0$ の正の解である。また $y>x>0$なら $$(y^3+3y)-(x^3+3x)=(y-x)(y^2+xy+x^2+3)>0$$だから正の解は高々一つであり、$$\displaystyle \alpha=u-v=\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt5}{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt5-1}{2}}.$$

(1)(2)は三次展開公式で計算する。(3)では$u^3-v^3=1$かつ$uv=1$となる正数$u,v$を黄金比の二次方程式から作ると、$u-v$が方程式の正の解となる。単調性を差の因数分解で確認して一意性を保証する。