5島根大学 2021年 数学 第5問解答・解説

交点では $x=f(x)$ であり、分母が0となる $x=-1/2$ は解ではない。整理すると $2x^2-2x-1=0$ なので、根を小さい順に並べて $$\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt3}{2},\qquad \beta=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$ $\alpha\le x\le\beta$ の範囲は $x=-1/2$ より右側にある。差は $$\displaystyle f(x)-x=\frac{-2x^2+2x+1}{2x+1}=-x+\frac32-\frac{1}{2(2x+1)}.$$ この区間では分母が正で、分子は根 $\alpha,\beta$ の間で非負だから、面積はこの差の定積分である。原始関数は $$\displaystyle -\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{2}-\frac14\log(2x+1).$$ $\beta-\alpha=\sqrt3$, $\alpha+\beta=1$, $2\alpha+1=2-\sqrt3$, $2\beta+1=2+\sqrt3$ を代入すると、 $$\displaystyle \sqrt3-\frac14\log\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3} =\sqrt3-\frac12\log(2+\sqrt3).$$ 最後の等式は $(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$ を用いた。

中心 $(-1/2,3/2)$ に関する点対称は $(x,y)\mapsto(-1-x,3-y)$ である。曲線を $$\displaystyle f(x)=\frac32-\frac{1}{4(x+1/2)}$$ と書けば、$\displaystyle 3-f(x)=\frac32+\frac{1}{4(x+1/2)}=f(-1-x)$。従って点対称後も同じ曲線で、方程式は $y=(3x+1)/(2x+1)$（$x\ne-1/2$）である。