3島根大学 2021年 数学 第3問解答・解説

各回のサイコロの出方は順序を区別した $36$ 通りで、どれも同様に確からしい。したがって $n$ 回の全事象は $36^n$ 通りである。

(1) 元の並びに戻るにはカードが一枚も取り除かれず、2回とも異なる目が出なければならない。2回の交換が元の並びを戻すのは、同じ2枚を2回交換した場合に限る。1回目は $36-6=30$ 通り、1回目に選んだ組を戻す2回目の出方は2通りなので $$\displaystyle \frac{30\cdot2}{36^2}=\frac{60}{1296}=\boxed{\frac5{108}}.$$

(2) 3回後にちょうど3枚残るには、3回ともゾロ目が出て、その3回で異なるカードを1枚ずつ取り除く必要がある。順に選ぶ方法は $6\cdot5\cdot4=120$ 通りだから $$\displaystyle \frac{120}{36^3}=\frac{120}{46656}=\boxed{\frac5{1944}}.$$

(3) カード2と5を取り除く必要がある。まず残る1回が異なる目の出方（交換操作）の場合を数える。カード2と5を取り除く順序は2通りあり、各順序について交換の位置を分ける。

・ 交換が2枚の除去より前：初期列から交換後、2と5を除いたとき両端が1,6のままなのは、交換する組が $$\{1,2\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{5,6\}$$ の場合。8組それぞれにサイコロの順序が2通りあるので16通り。

・ 交換が除去の間：例えば先に2を除くと、2を含む順序付きの異なる目の出方10通りは何もせず、残るカードどうしの交換で両端を保つ組は $\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{5,6\}$ の4組、計8通り。合計18通り。先に5を除く場合も左右対称で18通り。

・ 交換が2枚の除去より後：取り除かれた2または5を含む異なる目の出方18通りは何もせず、残った3,4の交換2通りだけが両端を保つ。合計20通り。

よって、残る操作が交換の場合の有利な出方は $$2(16+18+20)=108.$$ 残る操作もゾロ目なら、すでに除かれたカードを再度指定するため状態は変わらない。出方は $2,2,5$ の並べ替え3通り、または $2,5,5$ の並べ替え3通りで、計6通り。従って $$\displaystyle \frac{108+6}{36^3}=\frac{114}{46656}=\boxed{\frac{19}{7776}}.$$

各回の順序付きサイコロ結果は36通りで、n回の全事象は$36^n$通り。(1) カードが全て残るため2回とも異なる目。2回の交換が同じ2枚のカードであれば元の順序に戻る。1回目30通り、2回目2通りなので$\displaystyle \frac{60}{36^2}=\frac5{108}$。(2) 3回で3枚減るには毎回新しいカードを除去するゾロ目が必要。除くカードが相異なるので$6\cdot5\cdot4=120$通り、確率$\displaystyle \frac{120}{36^3}=\frac5{1944}$。(3) 必要な除去は$2,5$の各1回。残る1操作が異なる目の交換の場合、2,5の除去順各々について、交換が除去前・除去間・両除去後の有利な順序付き出目はそれぞれ$16,18,20$通り。合計$2(16+18+20)=108$通り。残る操作もゾロ目の場合は$2,2,5$または$2,5,5$の順列で6通り。全有利事象は114通り、確率$\displaystyle \frac{114}{36^3}=\frac{19}{7776}$。