2島根大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 漸化式から $\displaystyle a_2=\frac{26}{5}$ なので、 $$\displaystyle b_2=\frac{\frac{26}{5}-\frac65}{\frac{26}{5}-\frac15}=\frac45.$$ (2) $\displaystyle F(x)=\frac{4x+10}{x+1}$ とおくと、固定点は $$x=F(x)\quad\text{すなわち}\quad (x-5)(x+2)=0.$$ そこで $(\alpha,\beta)=(-2,5)$ と取ると、これは $\alpha<4,\ \beta\ne4,\ \alpha<\beta$ を満たす。直接計算して $$\displaystyle \frac{F(x)-5}{F(x)+2}=-\frac16\frac{x-5}{x+2}$$ を得る。各 $a_n>0$ だから分母は0にならず、$\displaystyle b_{n+1}=-\frac16b_n$。さらに $\displaystyle b_1=-\frac16$ より $\displaystyle b_n=(-\frac16)^n$ で、等比数列になる。 (3) 条件は $6^{-n}<10^{-78}$、すなわち $n\log_{10}6>78$ と同値である。与えられた値から $\log_{10}6=0.7781$ であり、 $$100(0.7781)=77.81<78<78.5881=101(0.7781).$$ したがって最小の自然数は $n=101$。

(1) は a2 を出して指定値を代入した。(2) は分数変換後の比を固定点で規格化すると b の隣接比が一定になる。(3) は常用対数で厳密な境界を比較した。