4東邦大学 2021年 数学 第4問解答・解説

1が出る5回の位置を選び、残る99回のうち2が出る位置を $k$ 個選ぶと $$\displaystyle P(k)=\binom{104}{5}\binom{99}{k}\left(\frac16\right)^5\left(\frac16\right)^k\left(\frac46\right)^{99-k} =\binom{104}{5}\binom{99}{k}\frac{4^{99-k}}{6^{104}} \quad(0\le k\le99).$$ よって $$\displaystyle \frac{P(0)}{P(1)}=\frac{4^{99}}{\binom{99}{1}4^{98}}=\frac4{99}.$$ 次に隣り合う項の比をとると $$\displaystyle \frac{P(k+1)}{P(k)}=\frac{\binom{99}{k+1}}{\binom{99}{k}}\cdot\frac14 =\frac{99-k}{4(k+1)}.$$ これは $k<19$ で1より大きく、$k=19$ で1、$k>19$ で1より小さい。したがって $P(k)$ は $k=19$ まで増加し、$P(19)=P(20)$ の後に減少する。最大となる $k$ は19と20で、そのうち最小のものは19である。検算として、$P(20)/P(19)=80/(4\cdot20)=1$、$P(21)/P(20)=79/(4\cdot21)<1$ である。