I日本医科大学 2021年 数学 第I問解答・解説

問1　 6回中、各硬貨の表の回数をそれぞれ $h_X,h_Y,h_Z$ とすると、その硬貨による軸方向の移動量は $h-(6-h)=2h-6$ である。したがって原点に到着した条件から $$a+(2\cdot2-6)=0,\qquad b+(2\cdot3-6)=0,\qquad c+(2\cdot4-6)=0,$$ ゆえに $a=2,\ b=0,\ c=-2$ を得る。

問2　 5回の試行で、各硬貨が表となった回数を $H_X,H_Y,H_Z$ とする。これらは互いに独立で、いずれも $0\le H\le5$、$\displaystyle \Pr(H=k)=\binom5k/2^5$ を満たす。問1で求めた $A=(2,0,-2)$ から出発するので、終点の座標は $$x=2H_X-3,\qquad y=2H_Y-5,\qquad z=2H_Z-7.$$ (1)　 z=-1 は $H_Z=3$ と同値であるから、確率は $\displaystyle \binom53/2^5=5/16$。

(2)　 条件は $H_Z=3$ かつ $H_Y\le4$ と同値である。異なる硬貨の表の回数は独立であり、$\Pr(H_Y\le4)=1-1/32=31/32$ だから、求める確率は $(5/16)(31/32)=155/512$。

(3)　 $x>2$ は $H_X\ge3$ と同値で、その確率は $\displaystyle (\binom53+\binom54+\binom55)/32=1/2$。また $y+z=2$ は $H_Y+H_Z=7$ と同値であり、該当する組合せ数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{5}\binom5j\binom5{7-j}=10+50+50+10=120$$ である。よってその確率は $120/2^{10}=15/128$。これは $H_X$ の条件と独立なので、求める確率は $(1/2)(15/128)=15/256$。