IV日本医科大学 2021年 数学 第IV問解答・解説

問1　 $H(x)=e^{x^2}-a\log x-b$ とおくと $$\displaystyle H''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}+\frac{a}{x^2}>0.$$ また $x\to+0$ で $H(x)\to+\infty$。$x\to+\infty$ については、$u\ge0$ で $e^u\ge1+u$、$x\ge1$ で $\log x\le x$ だから $H(x)\ge1+x^2-ax-b\to+\infty$。前者は$e^u-1-u$の導関数が非負であること、後者は$x-\log x$の導関数が$x\ge1$で正であることから従う。共有点は $H(x)=0$ の解である。もし唯一の解 $\alpha$ で $H'(\alpha)\ne0$ なら、その近くで $H$ は符号を変え、端の極限がともに正なので別の解も生じる。よって $H'(\alpha)=0$。この条件と $H(\alpha)=0$ から $$\displaystyle 2\alpha e^{\alpha^2}-\frac a\alpha=0,\qquad e^{\alpha^2}-a\log\alpha-b=0,$$ したがって $$a=2\alpha^2e^{\alpha^2},\qquad b=e^{\alpha^2}(1-2\alpha^2\log\alpha).$$ 特に $0<\alpha<1$ より $a,b>0$ と整合する。

問2　 $H''>0$ かつ $H'(\alpha)=H(\alpha)=0$ なので、$x\ne\alpha$ では $H(x)>0$。また $\alpha^{3/2}<\alpha$。回転軸は $y$ 軸だから、半径 $x$、高さ $H(x)$ の円筒殻を積分して $$\displaystyle V(\alpha)=2\pi\int_{\alpha^{3/2}}^\alpha x\{e^{x^2}-a\log x-b\}\,dx.$$ 原始関数は $$\displaystyle \frac12e^{x^2}-\frac a2x^2\log x+\frac a4x^2-\frac b2x^2.$$ これに問1の $a,b$ を代入して上下端を計算すると $$V(\alpha)=\pi\left\{e^{\alpha^2}(1-\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4-\alpha^5+\alpha^5\log\alpha)-e^{\alpha^3}\right\}.$$

問3　 $\displaystyle u(t)=1-t+\frac{t^2}{2}-e^{-t}$ とおく。$u(0)=u'(0)=0$ で、$u''(t)=1-e^{-t}\ge0$（$t\ge0$）だから、順に $u'(t)\ge0$、$u(t)\ge0$。したがって $$\displaystyle e^{-t}-1+t-\frac{t^2}{2}=-u(t)\le0.$$ さらに $\displaystyle v(t)=e^{-t}-1+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}$ とおけば $v(0)=0$、$v'(t)=u(t)\ge0$ なので $v(t)\ge0$。ゆえに $$\displaystyle -\frac{t^3}{6}\le e^{-t}-1+t-\frac{t^2}{2}\le0$$ を得る。

問4　 $\delta=\alpha^2(1-\alpha)$ とおくと $0<\delta<1$ であり、問2の式は $$V(\alpha)=\pi e^{\alpha^2}\left\{1-\delta+\alpha^4-\alpha^5+\alpha^5\log\alpha-e^{-\delta}\right\}.$$ $\displaystyle R=e^{-\delta}-1+\delta-\frac{\delta^2}{2}$ とおく。問3より $-\delta^3/6\le R\le0$。また $\delta^2=\alpha^4(1-\alpha)^2$ だから、括弧内は $$\displaystyle 1-\delta+\alpha^4-\alpha^5+\alpha^5\log\alpha-e^{-\delta} =\frac{\alpha^4}{2}-\frac{\alpha^6}{2}-R+\alpha^5\log\alpha.$$ よって $$\displaystyle \frac{V(\alpha)}{\alpha^4}=\pi e^{\alpha^2}\left\{\frac12-\frac{\alpha^2}{2}-\frac{R}{\alpha^4}+\alpha\log\alpha\right\}.$$ ここで $0\le- R/\alpha^4\le\delta^3/(6\alpha^4)=\alpha^2(1-\alpha)^3/6\to0$、また問題文で許された $\alpha\log\alpha\to0$ と $e^{\alpha^2}\to1$ より $V(\alpha)/\alpha^4\to\pi/2$。したがって $c=4$ なら極限は正の有限値 $\pi/2$。$c<4$ なら極限は0、$c>4$ なら正の無限大に発散するため、条件を満たすのは $c=4$ のみ。