II日本医科大学 2021年 数学 第II問解答・解説

問1　 原点では $x=0$ なので、直線 $L$ の切片は $a^4$。これが0となるのは $a=0$ のときに限る。

問2　 $x=1>0$ の近くでは $C$ は $y=x(6-x)+x=7x-x^2$ である。したがって傾きは $y'=7-2x$ より $x=1$ で5。点 $(1,6)$ を通る接線は $$y-6=5(x-1),\qquad y=5x+1.$$ 問3　 絶対値を外すと $$y=\begin{cases}x^2-5x&(x<0),\\7x-x^2&(x\ge0).\end{cases}$$ である。まず $x<0$ 側の交点は $$x^2-5(a+1)x-a^4=0$$ を満たす。$a\ne0$ なら2解の積が $-a^4<0$ なので負の解はちょうど1個である。$a=0$ なら解は $0,5$ であり、$x<0$ の解はない。

$x\ge0$ 側では $$x^2+(5a-7)x+a^4=0$$ となり、その判別式は $$\displaystyle D=(5a-7)^2-4a^4=(1-a)(2a+7)(2a^2-5a+7),\qquad 2a^2-5a+7=2(a-\frac54)^2+\frac{31}{8}>0.$$ したがって実数解があるのは $\displaystyle -\frac72\le a\le1$ のときである。この範囲で解の和は $7-5a\ge2>0$。$a\ne0$ なら解の積は $a^4>0$ だから、判別式が正なら正の解が2個、0なら正の重解が1個である。$a=0$ では式は $x(x-7)=0$ となり、$x\ge0$ に解が2個ある。以上より、両側を合計すると $$\displaystyle N(a)=\begin{cases}3&-\frac72<a<1,\ a\ne0,\\2&a=-\frac72,\ 0,\ 1,\\1&a< -\frac72\text{ または }a>1.\end{cases}$$ となる。$a=0$ の交点 $x=0$ は $x\ge0$ 側で一度だけ数えている。