1京都府立医科大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $C$ 上の点 $(u,u^2)$ における接線は $y=2ux-u^2$ である。その傾きを $k=2u$ とすると $\displaystyle y=kx-\dfrac{k^2}{4}$ となる。一方，$C'$ 上の点 $(v,av^2+bv+c)$ における接線は $y=(2av+b)x-av^2+c$ である。傾きが $k$ となるには $\displaystyle v=\dfrac{k-b}{2a}$ であり，このとき切片は $\displaystyle c-\dfrac{(k-b)^2}{4a}$ である。したがって共通接線の傾き $k$ は $$(1-a)k^2-2bk+b^2-4ac=0$$ を満たす。$a\ne1$ よりこれは二次方程式であり，異なる実数解がちょうど2個あることが共通接線がちょうど2本あることと同値である。その判別式は $$4b^2-4(1-a)(b^2-4ac)=4a\{b^2+4c(1-a)\}$$ である。よって条件 $(T)$ は $a\{b^2+4c(1-a)\}>0$ と同値である。また，$C$ と $C'$ の交点の $x$ 座標は $(1-a)x^2-bx-c=0$ の解であり，その判別式は $b^2+4c(1-a)$ である。したがって，$b^2+4c(1-a)>0$ なら異なる2点で交わり，$b^2+4c(1-a)<0$ なら共有点をもたない。日本の高校数学でいう「下に凸」は $a>0$，「上に凸」は $a<0$ であるから，求める必要十分条件が得られる。

(2) $l,m$ に対応する接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha_1,\alpha_2$（$C$ 上），$\beta_1,\beta_2$（$C'$ 上）とする。すなわち $A=(\alpha_1,\alpha_1^2), B=(\alpha_2,\alpha_2^2), P=(\beta_1,a\beta_1^2+b\beta_1+c), Q=(\beta_2,a\beta_2^2+b\beta_2+c)$ で，$\alpha_1<\alpha_2$ である。接線の傾きが等しいことから $$2\alpha_i=2a\beta_i+b\quad(i=1,2)$$ を得る。$a\ne0$ より $\beta_1\ne\beta_2$ であり， $$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\alpha_2^2-\alpha_1^2}{\alpha_2-\alpha_1}=\alpha_1+\alpha_2,$$ また， $$\displaystyle \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=a(\beta_1+\beta_2)+b=\alpha_1+\alpha_2.$$ よって $AB\parallel PQ$ である。

(3) $f(x)=ax^2+bx+c$ とおく。四角形 $ABPQ$ が平行四辺形であるための必要十分条件は，対角線 $AP,BQ$ の中点が一致することである。まず，その $x$ 座標について $$(\alpha_1+\beta_1)-(\alpha_2+\beta_2)=(a+1)(\beta_1-\beta_2).$$ $\beta_1\ne\beta_2$ なので，中点の $x$ 座標が等しいためには $a=-1$ が必要である。逆に $a=-1$ とすると， $$(\alpha_1^2+f(\beta_1))-(\alpha_2^2+f(\beta_2))=(a+1)(\beta_1-\beta_2)(\alpha_1+\alpha_2)=0,$$ ゆえに中点の $y$ 座標も一致する。したがって条件は $a=-1$ である（このとき $(T)$ のもとでは $b^2+8c<0$ も成り立つ）。