4京都府立医科大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) 条件から $$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=2E$$ である。したがって，$m=1,2,3,\ldots$ に対して $$(A+B)^{2m}=\bigl((A+B)^2\bigr)^m=(2E)^m=2^mE.$$

(2) $D=AB$ とおくと $BA=-AB=-D$ だから， $$D^2=ABAB=A(BA)B=-A^2B^2=-E.$$ $aE+bD=O$ とする。もし $b=0$ なら $aE=O$ であり，$E\ne O$ より $a=0$ である。もし $b\ne0$ なら $\displaystyle D=-\dfrac ab E$ となり，これを二乗すると $$\displaystyle -E=D^2=\frac{a^2}{b^2}E$$ を得る。しかし $a,b$ は実数なので $\displaystyle 1+\dfrac{a^2}{b^2}>0$ であり，これは $E\ne O$ に反する。ゆえに $b=0$ であり，続いて $a=0$ である。

(3) $A^2=B^2=E$ および $BA=-AB$ を用いて，積の中の $B$ を $A$ の右側へ移すたびに符号が反転する。したがって，$A$ が現れる回数を $u$，$B$ が現れる回数を $v$ とすると，$1$ または $-1$ である符号 $\varepsilon$ に対して $$X_n=\varepsilon A^uB^v$$ と書ける。$u+v=n$ が奇数なら $u,v$ の一方が偶数，他方が奇数なので，$X_n=\pm A$ または $X_n=\pm B$ である。ここで $A\ne\pm E$ である。実際，$A=\pm E$ なら $AB+BA=\pm2B=O$ から $B=O$ となり，$B^2=E$ に反する。同様に $B\ne\pm E$ である。よって奇数 $n$ では $X_n\ne E$ であり，$p_n=0$ となる。

(4) $n=2m$ とし，試行を隣り合う2回ずつ $m$ 組に分ける。$D=AB$ とおけば，各組の積は $$AA=E,\qquad BB=E,\qquad AB=D,\qquad BA=-D$$ のいずれかであり，$D^2=-E$ である。異なる行列を選ぶ組の個数を $j$ とする。各組で異なる行列が選ばれる確率は $\displaystyle \dfrac12$ なので， $$\displaystyle \Pr(j)=\frac{\binom mj}{2^m}.$$ $j$ が奇数なら，全体の積は $\pm D$ となって $E$ ではない。$j=0$ なら積は必ず $E$ であり，その確率は $2^{-m}$ である。$j\ge2$ が偶数なら，異なる行列を選ぶ $j$ 組の向き $AB,BA$ の組合せのうち，積の符号が正となるものはちょうど半分である。よって $$\displaystyle p_{2m}=2^{-m}+\frac{1}{2^{m+1}}\sum\limits _{\substack{2\le j\le m\\j\text{は偶数}}}\binom mj.$$ $m\ge1$ について偶数番目の二項係数の和は $2^{m-1}$ だから， $$\displaystyle \sum\limits _{\substack{2\le j\le m\\j\text{は偶数}}}\binom mj=2^{m-1}-1.$$ したがって $$\displaystyle p_{2m}=2^{-m}+\frac{2^{m-1}-1}{2^{m+1}} =\frac14+2^{-m-1} =\frac14+2^{-n/2-1}.$$