3京都府立医科大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) 正四面体の1辺を $1$，高さを $h$ とする。底面は1辺 $1$ の正三角形であり，その重心から頂点までの距離は $\displaystyle \dfrac1{\sqrt3}$ だから， $$\displaystyle h^2=1-\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac23,\qquad h=\frac{\sqrt6}{3}.$$ 正四面体の中心 $O$ は高さを底面側から $1:3$ に内分するので，内接球の半径と外接球の半径はそれぞれ $$\displaystyle a=\frac h4=\frac{\sqrt6}{12},\qquad b=\frac{3h}{4}=\frac{\sqrt6}{4}.$$ 底面の重心からその辺の中点までの距離は正三角形の内接円半径 $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}{6}$ である。$O$ から底面への垂線の足は底面の重心なので，直角三角形より $$\displaystyle c^2=a^2+\left(\frac{\sqrt3}{6}\right)^2=\frac6{144}+\frac3{36}=\frac18.$$ ゆえに $\displaystyle c=\dfrac{\sqrt2}{4}$。

(2) $O$ を原点とし，ある面に垂直な軸の座標を $x$ とする。その面は $x=a$ にあり，半径 $r$ の球の $x$ における断面積は $\pi(r^2-x^2)$ である。したがって，1つの面の外側にできる球の部分の体積は $$\displaystyle \pi\int_a^r(r^2-x^2)\,dx =\frac{\pi}{3}(r-a)^2(2r+a).$$ $r\le c$ では球が正四面体の辺に届かないため，異なる面の外側にできる部分は重ならない（$r=c$ では辺の中点で接するだけである）。よって $$\displaystyle V(r)=\frac{4\pi}{3}(r-a)^2(2r+a).$$ ここで $\displaystyle t=\dfrac ra$ とおく。$c/a=\sqrt3$ なので，範囲は $1<t\le\sqrt3$ であり， $$\displaystyle \frac{V(r)}{r^6} =\frac{4\pi}{3a^3}\frac{(t-1)^2(2t+1)}{t^6}.$$ 定数 $\displaystyle \dfrac{4\pi}{3a^3}$ は正だから，$\displaystyle g(t)=\dfrac{(t-1)^2(2t+1)}{t^6}$ の最大値を調べればよい。展開して微分すると $$\displaystyle g(t)=2t^{-3}-3t^{-4}+t^{-6},\qquad g'(t)=-\frac{6(t-1)(t^2-t-1)}{t^7}.$$ $t>1$ では $t-1>0$ であり，$t^2-t-1=0$ の正の解は $$\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ である。さらに $1<\varphi<\sqrt3$（$\displaystyle \varphi^2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}<3$）なので，$g'(t)>0$ は $1<t<\varphi$，$g'(t)<0$ は $\varphi<t\le\sqrt3$ で成り立つ。したがって最大となるのは $t=\varphi$，すなわち $$\displaystyle r=a\varphi=\frac{\sqrt6}{12}\cdot\frac{1+\sqrt5}{2} =\frac{\sqrt6(1+\sqrt5)}{24}.$$