2京都府立医科大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) $D_n=a_{n+1}a_{n+2}-a_n(a_{n+2}+a_{n+1})$ とおく。漸化式 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ を用いると， $$D_n=a_{n+1}^2-a_na_{n+1}-a_n^2.$$ また，同じ式を $n+1$ に用いれば， $$D_{n+1}=a_{n+2}^2-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}^2=-D_n.$$ 実際，右辺に $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ を代入すると $-a_{n+1}^2+a_na_{n+1}+a_n^2$ となる。初項は $a_1=1, a_2=1, a_3=2$ より $D_1=2-3=-1=(-1)^1$ である。したがって $D_{n+1}=-D_n$ から帰納的に $D_n=(-1)^n$ となる。これを $D_n$ の定義に戻すと，$$a_n(a_{n+2}+a_{n+1})=a_{n+1}a_{n+2}-(-1)^n$$ を得る。

(2) $p=a_{2k+1}, q=a_{2k+2}$ とおく。(1)で $n=2k$ とすると，$a_{2k}(p+q)=pq-1$ である。各 $a_n$ は正なので $pq-1>0$ であり，加法定理を用いて $$\displaystyle \tan(\theta_{2k+1}+\theta_{2k+2})=\frac{\dfrac1p+\dfrac1q}{1-\dfrac1{pq}}=\frac{p+q}{pq-1}=\frac1{a_{2k}}=\tan\theta_{2k}.$$ さらに $\displaystyle 1-\dfrac1{pq}>0$ だから，$\cos(\theta_{2k+1}+\theta_{2k+2})>0$。二つの角の和は $0$ より大きく $\pi$ より小さいので，この和は $\displaystyle 0<\theta_{2k+1}+\theta_{2k+2}<\dfrac\pi2$ を満たす。$\theta_{2k}$ も $\displaystyle (0,\dfrac\pi2)$ にあり，この範囲で $\tan$ は一対一であるから，$\theta_{2k+1}+\theta_{2k+2}=\theta_{2k}$ である。

(3) (2)を $k=1,2,\ldots,N-1$ について加えると， $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N-1}\theta_{2k+1}=\sum\limits _{k=1}^{N-1}(\theta_{2k}-\theta_{2k+2})=\theta_2-\theta_{2N}.$$ したがって $N\ge1$ に対して $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N}\theta_{2k-1}=\theta_1+\theta_2-\theta_{2N}$ である。漸化式と正の整数であることから $a_n$ は単調に増加して無限に大きくなる。よって $\tan\theta_n=1/a_n\to0$ であり，$\displaystyle 0<\theta_n<\dfrac\pi2$ だから $\theta_n\to0$。また $a_1=a_2=1$ より $\displaystyle \theta_1=\theta_2=\dfrac\pi4$。以上から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}\theta_{2k-1}=\lim\limits _{N\to\infty}(\theta_1+\theta_2-\theta_{2N})=\frac\pi2.$$