9千葉大学 2021年 数学 第9問解答・解説

(1) $n=1$ のとき $f_2=2x,\quad g_2=1-x^2$ だから、主張は成立する。 これが n で成立すると仮定する。漸化式を微分すると $$\begin{aligned}\{f_{n+2}\}'&=\{f_{n+1}\}'+g_{n+1}+x\{g_{n+1}\}'\\&=(n+1)g_n+(g_n-xf_n)-x(n+1)f_n\\&=(n+2)(g_n-xf_n)=(n+2)g_{n+1},\\\{g_{n+2}\}'&=\{g_{n+1}\}'-f_{n+1}-x\{f_{n+1}\}'\\&=-(n+1)f_n-(f_n+xg_n)-x(n+1)g_n\\&=-(n+2)(f_n+xg_n)=-(n+2)f_{n+1}.\end{aligned}$$ よって数学的帰納法により微分等式が成り立つ。

$g_n(0)=1$ は漸化式からすべての $n$ で成り立つので、各 $g_n$ は零多項式でない。また微分等式より各 $f_n$ も零多項式でない。したがって $$\deg f_{n+1}=\deg g_n+1,\qquad \deg g_{n+1}=\deg f_n+1.$$ $\deg f_1=1,\ \deg g_1=0$ から、奇数 $n$ では $(\deg f_n,\deg g_n)=(n,n-1)$、偶数 $n$ では $(\deg f_n,\deg g_n)=(n-1,n)$ と交互に続く。特に $\deg f_n=n$（$n$ 奇数）、$\deg f_n=n-1$（$n$ 偶数）である。

(2) $n=1$ では $f_1(\tan\theta)\cos\theta=\sin\theta,\quad g_1(\tan\theta)\cos\theta=\cos\theta$ である。 これが n で成り立つとすると、 $$\begin{aligned}f_{n+1}(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta&=f_n(\tan\theta)\cos^n\theta\cos\theta+g_n(\tan\theta)\cos^n\theta\sin\theta\\&=\sin n\theta\cos\theta+\cos n\theta\sin\theta=\sin(n+1)\theta,\\g_{n+1}(\tan\theta)\cos^{n+1}\theta&=g_n(\tan\theta)\cos^n\theta\cos\theta-f_n(\tan\theta)\cos^n\theta\sin\theta\\&=\cos n\theta\cos\theta-\sin n\theta\sin\theta=\cos(n+1)\theta.\end{aligned}$$ 加法定理と数学的帰納法により、指定された区間で両等式が成り立つ。

(3) $x=\tan\theta$ とおくと、$-\pi/2<\theta<\pi/2$ で $\cos\theta>0$ であり、$x$ と $\theta$ は一対一に対応する。(2)より $$f_n(x)=ag_n(x)\quad\text{すなわち}\quad \sin(n\theta)=a\cos(n\theta).$$ $\cos(n\theta)=0$ なら左辺の正弦は $\pm1$ なので等式は成立しない。従って $\tan(n\theta)=a$。$-\pi/2<\alpha<\pi/2$ を満たす $\tan\alpha=a$ の唯一の角を $\alpha$ とすると、解は $n\theta=\alpha+k\pi\ (k\text{ は整数})$ のうち $-n\pi/2<\alpha+k\pi<n\pi/2$ を満たすものに対応する。 $$\displaystyle -\frac n2-\frac\alpha\pi<k<\frac n2-\frac\alpha\pi.$$ この開区間の長さは $n$ である。両端が整数となるのは $n$ が偶数かつ $\alpha=0$、すなわち $a=0$ の場合に限る。この場合は両端を除いて整数が $n-1$ 個、それ以外は整数が $n$ 個ある。よって解の個数は、$n$ が偶数かつ $a=0$ のとき $n-1$、それ以外は $n$ である。