8千葉大学 2021年 数学 第8問解答・解説

以下、$\log$ は自然対数とする。接点の x 座標が t なので、接点の y 座標と接線の傾きがそれぞれ一致する。

(1) $x=t$ での値と導関数を等しくすると $$\displaystyle e^{at}=a\log t+b,\qquad ae^{at}=\frac{a}{t}.$$ $a\ne0$ より後者から $e^{at}=1/t$、したがって $at=-\log t$ である。これを前者へ代入すると $$\displaystyle a=-\frac{\log t}{t},\qquad b=\frac1t-a\log t =\frac{1+(\log t)^2}{t}.$$

(2) $0<t<1$ より $a>0$ であり、$C_1$ は x 軸より上にある。よって $$\displaystyle S_1(t)=\int_0^t e^{ax}\,dx =\frac{e^{at}-1}{a} =\frac{1-t}{-\log t}.$$ $u=-\log t$ とおくと $t=e^{-u}$ で、$t\to1^-$ のとき $u\to0^+$ である。したがって $$\displaystyle S_1(t)=\frac{1-e^{-u}}{u}.$$ ここで $0\le s\le u$ に対し $e^{-u}\le e^{-s}\le1$ だから、 $$\displaystyle e^{-u}\le\frac1u\int_0^u e^{-s}\,ds =\frac{1-e^{-u}}{u}\le1.$$ 両端は $u\to0^+$ で 1 に収束するので、$\displaystyle \lim\limits _{t\to1^-}S_1(t)=1$.

(3) $L=\log t<0,\quad x=ts$ とおくと、(1)の a,b を用いて $$\displaystyle a\log x+b =\frac{1-L\log s}{t}.$$ これが x 軸と交わる点は $s_0=e^{1/L},\quad 0<s_0<1$ である。また $x=t$ では曲線は正なので、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S_2(t)=\int_{s_0}^1(1-L\log s)\,ds.$$ 原始関数は $s-L(s\log s-s)$ であるから、$\log s_0=1/L$ を用いて $$S_2(t)=1+L-L e^{1/L}.$$ $L\to0^-$ のとき $q=-1/L$ とおけば $q\to\infty$ であり、 $$\displaystyle |L e^{1/L}|=\frac{e^{-q}}q\le\frac1q\longrightarrow0.$$ よって $\displaystyle \lim\limits _{t\to1^-}S_2(t)=1$.