5千葉大学 2021年 数学 第5問解答・解説

白球を引くと必ず1点を得る。黒球を引いたときは、さいころの目が3の倍数となる確率$\displaystyle \frac13$で1点を得る。

・ 2回のうち白球がw個である場合に分ける。 $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{総得点}=2) &=P(w=2)+P(w=1)\cdot\frac13+P(w=0)\cdot\left(\frac13\right)^2\\ &=\frac{\binom52}{\binom{10}2}+\frac{\binom51\binom51}{\binom{10}2}\cdot\frac13+\frac{\binom52}{\binom{10}2}\cdot\frac19\\ &=\frac29+\frac59\cdot\frac13+\frac29\cdot\frac19=\boxed{\frac{35}{81}}. \end{aligned}$$

・ 4回の抽出に含まれる白球の個数をWとする。W$\ge$2なら総得点は必ず2点以上である。 $$\displaystyle P(W=0)=\frac{\binom50\binom54}{\binom{10}4}=\frac1{42},\qquad P(W=1)=\frac{\binom51\binom53}{\binom{10}4}=\frac5{21}.$$ 総得点が1点以下となるのは、W=0で黒球の得点が0点または1点の場合、またはW=1で黒球の得点が0点の場合である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{総得点}\le1) &=\frac1{42}\left[\left(\frac23\right)^4+4\cdot\frac13\left(\frac23\right)^3\right]+\frac5{21}\left(\frac23\right)^3\\ &=\frac{48}{567}=\frac{16}{189},\\ P(\text{総得点}\ge2)&=1-\frac{16}{189}=\boxed{\frac{173}{189}}. \end{aligned}$$

・ 10回で袋の球をすべて取り出すため、白球による得点は5点である。5個の黒球それぞれについて、さいころで1点を得る試行は独立で、その確率は}$\displaystyle \frac13$である。総得点が8点以上となるには、黒球から少なくとも3点を得ればよいから $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{総得点}\ge8) &=\binom53\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2+\binom54\left(\frac13\right)^4\frac23+\binom55\left(\frac13\right)^5\\ &=\frac{40+10+1}{243}=\boxed{\frac{17}{81}}. \end{aligned}$$