6千葉大学 2021年 数学 第6問解答・解説

採用解説: MM-50bb1d879193-Q6 結論　 (1)　 円周 $x^2+y^2=1$ から2点 $(1,0),(-1,0)$ を除いた図形;　　 (2)　 1　 　 0でない各実数 $t$ に対し $P=(t,1/t)$ とする。$t\ne-1$ のとき、$A$ と $P$ を結ぶ割線の傾きは $\displaystyle \frac{1/t+1}{t+1}=1/t$ であり、$t\to-1$ で $-1$ に収束する。したがって $t=-1$ における接線も含めて、$AP$ は $\displaystyle y+1=\frac{x+1}{t}$ と表せる。これと $y=-2$ の交点は $Q=(-t-1,-2)$ である。

$BQ$ の傾きは $2/t$ なので、$D$ を通る垂線は $\displaystyle y=-\frac{t}{2}(x-1)$ である。これと $\displaystyle BQ: y=\frac{2}{t}(x+1)$ を連立すると、$\displaystyle R=(\frac{t^2-4}{t^2+4},\frac{4t}{t^2+4})$ を得る。よって $\displaystyle x_R^2+y_R^2=\frac{(t^2-4)^2+16t^2}{(t^2+4)^2}=1$。逆に、$x^2+y^2=1$ かつ $x\ne1$, $y\ne0$ の点に対して $\displaystyle t=\frac{2y}{1-x}$ とおけば上の媒介表示となる。円上で除かれる点はちょうど $(1,0),(-1,0)$ である。

次に、もし $P=R$ なら $1/t=4t/(t^2+4)$ より $t^2=4/3$ となるが、このとき $x_R=-1/2$ であり $x_P=t$ と一致しない。したがって $P\ne R$。$t=\pm2$ では $x_R=0$ だが $x_P=t\ne0$ なので $O,P,R$ は一直線上にない。その他の $t$ では、$OP$ と $OR$ の傾きがそれぞれ $1/t^2$, $4t/(t^2-4)$ だから、$PR$ が原点を通る条件は $4t^3-t^2+4=0$ である。

$f(t)=4t^3-t^2+4$ とおくと $f'(t)=2t(6t-1)$。$t<0$ では $f$ は増加し、$f(t)\to-\infty$ ($t\to-\infty$), $f(0)=4$ だから負の解をただ1つもつ。正の範囲では $t=1/6$ で最小となり、$f(1/6)=431/108>0$ なので解はない。したがって条件を満たす実数 $t$ は1個である。