7千葉大学 2021年 数学 第7問解答・解説

(1) $a=w^{-2}$ とおく。$w^5=1$ であり、$\gcd(2,5)=1$ だから、$1,a,a^2,a^3,a^4$ は1の5乗根をすべて含む。したがって $$\displaystyle \prod\limits _{k=0}^{4}(1-a^kx)=x^5\prod\limits _{k=0}^{4}(x^{-1}-a^k)=x^5\bigl((x^{-1})^5-1\bigr)=1-x^5$$ である。これは $\displaystyle \prod\limits _{k=0}^{4}(X-a^k)=X^5-1$ に $X=x^{-1}$ を代入し、両辺に $x^5$ を掛けたものである。$x=z^{-2}$。各因子を $$\displaystyle w^kz-\frac{1}{w^kz}=w^kz(1-w^{-2k}z^{-2})$$ と変形すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \prod\limits _{k=0}^{4}\left(w^kz-\frac{1}{w^kz}\right)&=w^{0+1+2+3+4}z^5\prod\limits _{k=0}^{4}\left(1-(w^{-2})^kz^{-2}\right)\\ &=w^{10}z^5\left(1-(z^{-2})^5\right)=z^5-\frac{1}{z^5}, \end{aligned}$$ となる。ここで $w^{10}=1$ を用いた。

(2) $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とする。ド・モアブルの定理より $$\displaystyle w^kz=\cos\left(\theta+\frac{2k\pi}{5}\right)+i\sin\left(\theta+\frac{2k\pi}{5}\right)$$ であり、その逆数は共役複素数なので $$\displaystyle w^kz-\frac{1}{w^kz}=2i\sin\left(\theta+\frac{2k\pi}{5}\right)$$ である。また $$z^5-z^{-5}=2i\sin5\theta$$ である。(1)を用いれば、 $$\displaystyle \begin{aligned} (2i)^5\prod\limits _{k=0}^{4}\sin\left(\theta+\frac{2k\pi}{5}\right)&=2i\sin5\theta,\\ \prod\limits _{k=0}^{4}\sin\left(\theta+\frac{2k\pi}{5}\right)&=\frac{1}{16}\sin5\theta. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle C=\frac{1}{16}$ である。

(3) (2)で $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{10}$ とすると、左辺の積は $$\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{10}\sin^2\frac{3\pi}{10}$$ となる。実際、5個の因子は順に $$\displaystyle \sin\frac{\pi}{10},\quad 1,\quad \sin\frac{\pi}{10},\quad -\sin\frac{3\pi}{10},\quad -\sin\frac{3\pi}{10}$$ である。一方、(2)の右辺は $$\displaystyle \frac{1}{16}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{1}{16}$$ だから、 $$\displaystyle \left[\sin\frac{\pi}{10}\sin\frac{3\pi}{10}\right]^2=\frac{1}{16}$$ である。両角は $\displaystyle 0<\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10}<\frac{\pi}{2}$ なので正の平方根を取り、 $$\displaystyle \sin\frac{\pi}{10}\sin\frac{3\pi}{10}=\frac{1}{4}$$ を得る。