5新潟大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) z^n=iより、zの絶対値をr、偏角を$\theta$とするとr^n=1なのでr=1であり、n$\theta$=$\displaystyle \frac{\pi}{2}$+2$\pi$ j (jは整数)となる。0$\le$$\theta$<2$\pi$に入る解は$$\displaystyle \theta_k=\frac{\pi/2+2\pi k}{n}\qquad(k=0,1,\ldots,n-1)$$である。これらはkの増加順に偏角が増えるから、$$\alpha_k=\cos\theta_k+i\sin\theta_k.$$ (2) $$\displaystyle \beta_k=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}$$とおくと、三角関数の加法定理により$\alpha_0\beta_k$=$\displaystyle \cos\frac{\pi/2+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\pi/2+2\pi k}{n}=\alpha_k$である。またド・モアブルの定理から$$(\beta_k)^n=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1.$$ (3) q=$\beta_1$とおくとq^n=1であり、q$\ne$1（n$\ge$3）である。(2)より$\alpha_j$=$\alpha_0$q^jなので、等比数列の和から$$\displaystyle \gamma_k=\alpha_0(1+q+\cdots+q^k)=\frac{\alpha_0}{1-q}(1-q^{k+1}).$$ c=$\displaystyle \frac{\alpha_0}{1-q}$とおけば$$\gamma_k-c=-cq^{k+1},\qquad |\gamma_k-c|=|c|.$$したがって全てのP_kは中心c、半径|c|の円周上にある。$q^{k+1}$ (k=0,$\ldots$,n-1) は単位円周を等間隔に並ぶn個の点であり、複素数に同じ非零複素数-cを掛けても角度間隔は保たれる。ゆえにP_0,$\ldots$,P_{n-1}は円周上に等間隔に並び、正n角形の頂点である。 (4) n=6のとき$\alpha_0$=$\cos$$\displaystyle \frac{\pi}{12}$+i$\sin$$\displaystyle \frac{\pi}{12}$、q=$\cos$$\displaystyle \frac{\pi}{3}$+i$\sin$$\displaystyle \frac{\pi}{3}$=$\displaystyle \frac12$+i$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$である。よって$$\displaystyle 1-q=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2},\qquad \frac1{1-q}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}.$$従って正六角形の外接円の中心cは$$\displaystyle c=\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}.$$加法定理を用いて極形式でない形に直すと$$\displaystyle c=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}+i\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$