4新潟大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $y=\sqrt{4-x^2}$ は半径2の上半円だから、$I_0=2\pi$。$x\sqrt{4-x^2}$ は奇関数なので、対称区間の積分は $I_1=0$。$I_2$ は $x=2\sin t$（$-\pi/2\le t\le\pi/2$）と置くと $$\displaystyle I_2=16\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2t\cos^2t\,dt=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos4t)\,dt=2\pi.$$

(2) $G(x)=x^{2n+1}(4-x^2)^{3/2}$ と置く。端点では $G(-2)=G(2)=0$ であり、微分して積分すると $$\displaystyle 0=(2n+1)\int_{-2}^{2}x^{2n}(4-x^2)^{3/2}\,dx-3I_{2n+2}.$$ ここで $(4-x^2)^{3/2}=(4-x^2)\sqrt{4-x^2}$ より、最初の積分は $4I_{2n}-I_{2n+2}$。したがって $$\displaystyle 0=(2n+1)(4I_{2n}-I_{2n+2})-3I_{2n+2},\qquad \frac{I_{2n+2}}{I_{2n}}=\frac{4(2n+1)}{2n+4}.$$

(3) $a_n=I_{2n}/2^n$ とおくと、(2)より $a_{n+1}/a_n=(2n+1)/(n+2)$。$n\ge4$ ではこの比は $3/2$ 以上だから、$a_n\ge a_4(3/2)^{n-4}\to\infty$。

次に $c_n=I_{2n}/2^{2n}$ とおくと $$\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{2n+1}{2n+4}<\frac{n+1}{n+2}.$$ （交差積で比べると右辺の分子との差は $n+2>0$。）よって $n\ge1$ で $$\displaystyle 0<c_n<c_0\prod\limits _{j=0}^{n-1}\frac{j+1}{j+2}=\frac{2\pi}{n+1}\to0.$$ 以上から二つの極限が得られる。

答え

(1) $I_0=2\pi,\ I_1=0,\ I_2=2\pi$。 (2) $\displaystyle\frac{I_{2n+2}}{I_{2n}}=\frac{4(2n+1)}{2n+4}$。 (3) $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{I_{2n}}{2^n}=\infty$、$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{I_{2n}}{2^{2n}}=0$。