4群馬大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 許された }e^u>u\ (u>0)\text{ を積分すると、} e^x-1=\int_0^x e^u\,du>\int_0^x u\,du=\frac{x^2}{2}. \text{したがって }e^u>1+\frac{u^2}{2}\text{ が }u>0\text{ で成り立つ。再び積分して} e^x-1>\int_0^x\left(1+\frac{u^2}{2}\right)du=x+\frac{x^3}{6},\quad\therefore\ e^x>\frac{x^3}{6}. \text{(2) }p(x)=x^2-(a+1)x+2a-1\text{ とおくと} f'(x)=e^{-x}(p'(x)-p(x))=-e^{-x}(x-a)(x-3). \text{また (1) より }e^{-x}<\frac6{x^3}\text{。}p(x)\sim x^2\text{ なので十分大きい }x\text{ で }0<p(x)<2x^2\text{ となり、} 0<f(x)<\frac{12}{x}\longrightarrow0. \text{従って }f(x)\to0\text{ を正側から近づく。} 0<a<3\text{ では }f'\text{ の符号は }-,+,-\text{ と変わり、}x=a\text{ が極小点で }f(a)=(a-1)e^{-a}. \text{この極小値が }0\text{ 以下の場合に限り最小値をとるので }a\le1. a=3\text{ では }f'(x)=-e^{-x}(x-3)^2\le0\text{ で、}f\text{ は }0\text{ に近づくだけで最小値をとらない。} a>3\text{ では }f'\text{ の符号は }-,+,-\text{ と変わり、}x=3\text{ が極小点で }f(3)=(5-a)e^{-3}. \text{これが }0\text{ 以下となる条件は }a\ge5. \therefore\quad 0<a\le1\quad\text{または}\quad a\ge5. \text{(3) }a=\frac12\text{ のとき }f(x)=x\left(x-\frac32\right)e^{-x}\le0\quad(0\le x\le1). \begin{aligned}\int_0^1|f(x)|\,dx&=\frac32\int_0^1xe^{-x}dx-\int_0^1x^2e^{-x}dx\\&=\frac32\left(1-\frac2e\right)-\left(2-\frac5e\right)=\frac2e-\frac12.\end{aligned}$$