山口大学 2025年数学第2問解答・解説

指数関数・対数関数極限微分法積分法

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1問題

山口大学2025年度第2問配点 50点

関数 $f(x)=e^x-1$ について、次の問いに答えなさい。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

(1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めなさい。

(2) $f^{-1}(x)$ の不定積分 $\displaystyle \int f^{-1}(x)\,dx$ を求めなさい。

(3) $k$ を正の定数とする。 $x\geq0$ に対して、関数 $g(x)$ を次のように定める。 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{k}f(t)\,dt+\int_{0}^{x}f^{-1}(t)\,dt-kx$ $g(x)$ の最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ の値を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad f^{-1}(x)=\ln(x+1)\quad$ （ $\quad x>-1\quad$ ）。 (2) $\quad (x+1)\ln(x+1)-x+C\quad$ 。 (3) 最小値 $\quad 0\quad$ 、達成点 $\quad x=e^k-1\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $f'(x)=e^x>0$ で、 $f$ の値域は $y>-1$ 。 $y=e^x-1$ を解いて $f^{-1}(x)=\ln(x+1)\qquad(x>-1).$

(2) $x>-1$ で部分積分すると $\displaystyle \int f^{-1}(x)\,dx=\int\ln(x+1)\,dx=(x+1)\ln(x+1)-x+C.$

(3) 定義式と(2)を使うと $g'(x)=\ln(x+1)-k$ 。よって臨界点は $x=e^k-1>0$ 。 $g'$ はその前で負、その後で正である。また定義式へ代入すると $g(e^k-1)=0$ 。したがって最小値は $0$ 、そのとき $x=e^k-1$ 。

指数関数の単調性から逆関数を求め、部分積分を適用する。最後は導関数の符号変化と最小点での値を確かめる。

この問題で使う考え方

逆関数
部分積分
導関数の符号による最小値判定

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