4島根大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $t=\sqrt{x}>0$ とおくと $\log x=2\log t$。$h(t)=t-\log t$ とすると $$\displaystyle h'(t)=1-\frac1t=\frac{t-1}{t}。$$ よって $h$ は $t=1$ で最小となり、$h(1)=1$。従って $\log t\le t-1<t$、ゆえに $\log x<2\sqrt{x}$。

(2) $x>1$ では $$\displaystyle 0<\frac{\log x}{x+1}<\frac{2\sqrt{x}}{x+1}<\frac2{\sqrt{x}}\longrightarrow0。$$ よって求める極限は0。

(3) 対数の性質を使って与式を整理すると $$\displaystyle \log a\ge g(x):=\log(x+1)-\log x+\frac{\log x}{x+1}。$$ 微分すると $$\displaystyle g'(x)=\frac1{x+1}-\frac1x+\frac1{x(x+1)}-\frac{\log x}{(x+1)^2}=-\frac{\log x}{(x+1)^2}。$$ したがって $g$ は $0<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。最大値は $g(1)=\log2$。すべての $x>0$ で成り立つ条件は $\log a\ge\log2$、すなわち $a\ge2$。

(4) 左辺を分けて積分すると $$\displaystyle \int_1^2\log\frac{ax}{x+1}\,dx=\log a+4\log2-3\log3。$$ 部分積分で $\displaystyle \int (\log x)/x^2\,dx=-(\log x+1)/x$ だから、右辺は $$\displaystyle 2\int_1^2\frac{\log x}{x^2}\,dx=1-\log2。$$ 等式より $\log a=1-5\log2+3\log3$。従って $$\displaystyle a=\frac{27e}{32}。$$

答え

(1) $2\sqrt{x}>\log x$。 (2) $0$。 (3) $a\ge2$。 (4) $\displaystyle a=\dfrac{27e}{32}$。