3島根大学 2020年 数学 第3問解答・解説

確率変数の値を直接列挙して、まず初めの二つの和を求める。2回以内に合計2点となるのは「1回目に裏」または「2回とも表」であるから、 $$\displaystyle c_2=p(1,2)+p(2,2)=\frac12+\frac14=\frac34.$$ 合計3点となるのは2回で表裏が1回ずつ出る場合、または3回とも表の場合なので、 $$\displaystyle c_3=p(1,3)+p(2,3)+p(3,3)=0+\frac12+\frac18=\frac58.$$

(2) $k+1$ 回投げて合計 $n+2$ 点となる事象を最後の投げ方で分ける。最後が表なら、それ以前の $k$ 回の合計は $n+1$ 点であり、最後が裏なら合計は $n$ 点である。表裏はそれぞれ確率 $\displaystyle \frac12$ なので、 $$\displaystyle p(k+1,n+2)=\frac12p(k,n+1)+\frac12p(k,n).$$

(3) $n\ge1$ とする。1回の投げで合計 $n+2\ge3$ 点にはならないので $p(1,n+2)=0$。したがって、(2)を $k=1,\ldots,n+1$ で足すと $$\displaystyle \begin{aligned} c_{n+2} &=\sum\limits _{k=1}^{n+1}p(k+1,n+2)\\ &=\frac12\sum\limits _{k=1}^{n+1}p(k,n+1) +\frac12\sum\limits _{k=1}^{n+1}p(k,n)\\ &=\frac12c_{n+1}+\frac12c_n. \end{aligned}$$ ここで、第一の和は定義どおり $c_{n+1}$ であり、第二の和では $p(n+1,n)=0$（$n+1$ 回の最小得点は $n+1$ 点）なので $c_n$ に等しい。

(4) (3)を条件式の左辺に代入して整理すると $$\displaystyle \left(\frac12-\alpha-\beta\right)c_{n+1} +\left(\frac12+\alpha\beta\right)c_n=0.$$ $\displaystyle U=\frac12-\alpha-\beta$、$\displaystyle V=\frac12+\alpha\beta$ とおく。この等式がすべての $n\ge1$ で成り立つなら、$n=1,2$ について $$c_2U+c_1V=0,\qquad c_3U+c_2V=0.$$ 第1式を $c_2$ 倍し、第2式を $c_1$ 倍して引くと $(c_2^2-c_1c_3)U=0$。係数は $\displaystyle c_2^2-c_1c_3=\frac{9}{16}-\frac{5}{16}=\frac14\ne0$ なので $U=0$。さらに $\displaystyle c_1=\frac12$ より $V=0$。よって $$\displaystyle \beta=\frac12-\alpha,\qquad \alpha\beta=-\frac12.$$ これらから $2\alpha^2-\alpha-1=0$、すなわち $\alpha=1$ または $\displaystyle \alpha=-\frac12$。対応する $\beta$ を求めると $$\displaystyle (\alpha,\beta)=\left(1,-\frac12\right),\quad \left(-\frac12,1\right).$$

(5) $d_n=c_{n+1}-c_n$ とおくと、(3)より $$\displaystyle d_{n+1}=c_{n+2}-c_{n+1} =-\frac12(c_{n+1}-c_n)=-\frac12d_n.$$ また $\displaystyle d_1=c_2-c_1=\frac14$ なので $$\displaystyle d_n=\frac14\left(-\frac12\right)^{n-1}.$$ したがって、等比数列の和を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} c_n &=c_1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}d_j\\ &=\frac12+\frac14\sum\limits _{j=0}^{n-2}\left(-\frac12\right)^j\\ &=\frac12+\frac16\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}\\ &=\boxed{\frac23-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1}}. \end{aligned}$$

最後の投げ方で確率の漸化式を立てて和を取り、初期値と差の等比関係を使う。係数条件は連続する二つの式を加減法で解くことにより必要十分に決まる。