3新潟大学 2020年 数学 第3問解答・解説

各位の数字を $d_1,\ldots,d_n$ とし、それぞれ $1,2,3$ のいずれかとする。

(1) 全体の個数は $3^n$ だから $$x_n+y_n=3^n.$$ 各列に $(-1)^{d_1+\cdots+d_n}$ を対応させると、各位の選択ごとの符号の和は $(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3=-1$ である。従って偶数和の列が $+1$、奇数和の列が $-1$ を与える総和は $$\displaystyle y_n-x_n=\sum\limits _{d_1=1}^{3}\cdots\sum\limits _{d_n=1}^{3}(-1)^{d_1+\cdots+d_n}=(-1)^n.$$ この2式より $$\displaystyle \boxed{y_n+x_n=3^n,\qquad y_n-x_n=(-1)^n,\qquad y_n=\frac{3^n+(-1)^n}{2}.}$$

(2) $a_{n,r}$ を、数字和が $r$ を法として合同となる $n$ 桁の整数の個数とする。長さ $n+1$ の列の最後の数字は $1,2,3$ のいずれかである。末尾の数字を付ける前の数字和の剰余は、$r-1,r-2,r-3$ の3種類、すなわち $r$ 以外の全剰余である。長さ $n$ の列は全部で $3^n$ 通りだから $$a_{n+1,r}=3^n-a_{n,r}.$$ 特に $z_n=a_{n,0}$ とおけば、$z_1=0$ かつ $$z_{n+1}=3^n-z_n.$$ ここで $w_n=z_n-3^n/4$ とおくと $$\displaystyle w_{n+1}=z_{n+1}-\frac{3^{n+1}}4=\frac{3^n}{4}-z_n=-w_n, \qquad w_1=-\frac34.$$ よって $\displaystyle w_n=\frac34(-1)^n$ であり、 $$\displaystyle \boxed{z_n=\frac{3^n+3(-1)^n}{4}.}$$

(3) (1), (2)の式から $$\displaystyle \frac{z_n}{y_n}-\frac12 =\frac{3^n+3(-1)^n}{2(3^n+(-1)^n)}-\frac12 =\frac{(-1)^n}{3^n+(-1)^n}.$$ 等比数列 $\{c_n\}$ の公比を $q$、 $$\displaystyle u_n=c_n\left(\frac{z_n}{y_n}-\frac12\right)$$ とおく。$q=0$ なら $c_n=0$ ($n\ge2$) となり、$u_n$ の極限は0なので条件に合わない。従って $q\ne0$ とする。このとき $u_n\ne0$ である。もし $u_n$ が0でない極限に収束するなら、$u_{n+1}/u_n\to1$ でなければならない。一方、 $$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} =q\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}\frac{3^n+(-1)^n}{(-1)^n} =-q\frac{3^n+(-1)^n}{3^{n+1}-(-1)^n} \longrightarrow-\frac q3.$$ 従って $-q/3=1$、すなわち $q=-3$ である。逆に $q=-3$ なら $$\displaystyle u_n=c_1(-3)^{n-1}\frac{(-1)^n}{3^n+(-1)^n} =-\frac{c_1}{3+(-1)^n/3^{n-1}} \longrightarrow-\frac{c_1}{3}\ne0,$$ ここで $c_1\ne0$ を用いた。したがって条件を満たす公比は $$\boxed{-3}.$$

(1) は各桁の全選択数と、数字和の偶奇に応じた符号和で求める。(2) は数字和を4で割った余りごとの個数に着目して漸化式を作る。(3) は比の差を整理し、積の隣接項比が非零収束なら1になることから公比を決め、候補で実際に非零極限になることも確かめる。