2新潟大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $m_0$ の最小値

$$\gcd(70,130)=10$$ である。したがって $70x+130y$ は整数 $x,y$ に対して常に $10$ の倍数であり、正の値の最小候補は $10$ である。実際、 $$10=2\cdot70-130$$ だから $(x,y)=(2,-1)$ で達成する。よって $m_0=10$。

(2) $m_0$ に対する整数解

方程式を $10$ で割ると $7x+13y=1$ となり、$(2,-1)$ は一つの解である。任意の整数解との差を取れば $$7(x-2)+13(y+1)=0.$$ 互いに素な $7,13$ について $7\mid 13(y+1)$ なので $y+1=7q$ と書ける。これを代入すると $x-2=-13q$ である。$k=-q$ とすれば全整数解は $$(x,y)=(2+13k,-1-7k)\qquad(k\text{ は整数}).$$ 逆に、この表示を元の式に代入すると $$70(2+13k)+130(-1-7k)=10$$ となるので、表示された組はすべて解である。

(3) 正の整数解がちょうど3組となる最小の $m$

整数解があるとき $10\mid m$ なので $m=10M$ と置くと、方程式は $$7x+13y=M,\qquad x,y\text{ は正の整数}$$ となる。同じ $M$ を与える二つの解 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ について $$7(x_1-x_2)=-13(y_1-y_2).$$ $7$ と $13$ は互いに素だから $7\mid(y_1-y_2)$。従って、異なる正の解での $y$ は互いに少なくとも $7$ 離れる。正の解がちょうど3組あるなら、最大の $y$ は少なくとも $1+7+7=15$ である。対応する $x\ge1$ より $$M=7x+13y\ge7+13\cdot15=202.$$ この下限は達成できる。$M=202$ とすると $$7x+13y=202\quad\text{より}\quad y\equiv1\pmod7,$$ また $x\ge1$ から $y\le(202-7)/13=15$。したがって正の整数 $y$ は $1,8,15$ のみであり、対応する $x=(202-13y)/7$ はそれぞれ $27,14,1$。よって正の整数解はちょうど3組あり、最小の値は $$m=10M=2020.$$

答 $$\displaystyle (1)\ m_0=10,\qquad (2)\ (x,y)=(2+13k,-1-7k)\ (k\text{ は整数}),\qquad (3)\ m_{\min}=2020.$$

70と130の最大公約数は $10$ で、$10=2\cdot70-130$ と実際に表せる。したがって実現可能な正の整数 $m$ の最小値は $10$ である。$m_0=10$ の方程式を10で割ると $7x+13y=1$。一つの解は $(2,-1)$。任意の解との差を取ると $7(x-2)=-13(y+1)$ となる。7と13は互いに素なので $y+1$ は7の倍数であり、全解は $(x,y)=(2+13k,-1-7k)$（$k$ は整数）である。最後に $m=10M$ とする。$7x+13y=M$ において、同じ $M$ を与える異なる $y$ は7ずつ離れる。正の解が3組なら最大の $y$ は少なくとも $1+14=15$ で、$x\ge1$ だから $M\ge7+13\cdot15=202$。$M=202$ では合同式から $y\equiv1\pmod7$、また $x\ge1$ から $y\le15$ であるため、$y=1,8,15$ だけが可能で、それぞれ $x=27,14,1$。ちょうど3組あるので最小値は $m=10\cdot202=2020$。