1鹿児島大学 2020年 数学 第1問解答・解説

【用語の解釈】小問(1)の「自然数」は、原文で別途定義されていないため、正の整数と解釈します。0を含む定義では (0,2),(2,0) も加わるため、以下の小問(1)の列挙はこの解釈に基づきます。

(1) $s=a+b$ とおくと、$p=a^2-a+2ab+b^2-b=s^2-s=s(s-1)$ である。$a,b$ は自然数なので $s\geq 2$。$s\geq 3$ なら $s$ と $s-1$ はともに $1$ より大きく、$p$ は合成数となる。したがって $s=2$ であり、$a,b$ は自然数だから $a=b=1$。このとき $p=2$ は素数である。よって $(a,b)=(1,1)$。

(2) 与式を整理すると $\sqrt2\sin x-\sqrt6\cos x=2$。ここで $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac12$、$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ より、左辺は $\displaystyle 2\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ と表せる。したがって $\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$。$\displaystyle t=x-\frac{\pi}{3}$ とおくと、条件 $-\pi\leq x<\pi$ から $\displaystyle -\frac{4\pi}{3}\leq t<\frac{2\pi}{3}$ である。この範囲で $\displaystyle \sin t=\frac{\sqrt2}{2}$ となるのは $\displaystyle t=-\frac{5\pi}{4},\frac{\pi}{4}$ だから、$\displaystyle x=-\frac{11\pi}{12},\frac{7\pi}{12}$。

(3) 偶数であることが分かっているので、条件を満たすカードは $2,4,\ldots,2n$ の $n$ 枚である。そのうち書かれた数が $n$ 以下のものは $\displaystyle 2,4,\ldots,2\left\lfloor\frac n2\right\rfloor$ であり、$\displaystyle \left\lfloor\frac n2\right\rfloor$ 枚ある。したがって求める確率は $\displaystyle \frac{\lfloor n/2\rfloor}{n}$ である。$n$ が偶数なら $\displaystyle \frac12$、$n$ が奇数なら $\displaystyle \frac{n-1}{2n}$ となる。