獨協医科大学／2021年度／1日目

獨協医科大学 2021年 1日目数学第1問解答・解説

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1問題

獨協医科大学2021年度第1問

次の問いに答えなさい。

(1) 箱の中に1が書かれたカードが3枚，2が書かれたカードが2枚，3が書かれたカードが1枚の計6枚のカードが入っている。この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出し，カードに書かれている数字を記録し，取り出したカードを箱に戻す。これを1回の試行とし，この試行を6回繰り返す。記録された数字の合計を $S$ とする。 $\displaystyle S=7\text{ となる確率は }\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}\text{ であり，}\quad S=9\text{ となる確率は }\frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキク}}}\text{ である。}$ 1が書かれたカードを4回以上連続して取り出す確率は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$ である。

また，1が書かれたカードを4回以上連続して取り出すという条件のもとで， $S$ が偶数である条件付き確率は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。

(2) 2以上の整数 $n$ に対して，数の右下に $(n)$ を付けることで $n$ 進数を表すことにする。右下にこの記号が付いていない数は10進数を表す。

6進法の小数 $0.24_{(6)}$ を10進法の分数で表すと $\displaystyle 0.24_{(6)}=\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。

また，ある正の数を $a$ 進法で表すと $0.2_{(a)}$ ， $b$ 進法で表すと $0.12_{(b)}$ となった。このとき $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{a}=\frac{b+\boxed{\text{タ}}}{b\boxed{\text{チ}}}$ が成り立つ。ここで $b+\boxed{\text{タ}}=c$ とおいて上式を $a$ と $c$ で表すと $c\left(\boxed{\text{ツテ}}c+\boxed{\text{ト}}+a\right)=\boxed{\text{ナ}}$ が得られる。これより $c=\boxed{\text{ニ}}$ となり， $a=\boxed{\text{ヌ}}$ ， $b=\boxed{\text{ネ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

確率は数字の構成・連続区間の重なりで場合分けし、進法は位取り表記を10進分数に直して整数条件を使った。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad &P(S=7)=\frac1{16},\quad P(S=9)=\frac{85}{432},\quad P(R)=\frac18,\\ &P(S\text{ 偶数}\mid R)=\frac12;\\ \text{(2)}\quad &0.24_{(6)}=\frac49,\quad \frac2a=\frac{b+2}{b^2},\quad c(-2c+8+a)=8,\\ &(c,a,b)=(8,9,6). \end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 各回の出目を独立とし、 $\displaystyle P(1)=\frac12,\ P(2)=\frac13,\ P(3)=\frac16$ とする。6回すべてが1なら和は6であり、和が7となるには1回だけ2が出ればよい。したがって $\displaystyle P(S=7)=\binom61\frac13\left(\frac12\right)^5=\frac1{16}.$ 和を9にするには、各出目から1を引いた増分の和が3となる。これは「2が3回」または「3が1回、2が1回」の場合であるから、 $\displaystyle P(S=9)=\binom63\left(\frac13\right)^3\left(\frac12\right)^3+\frac{6!}{4!}\frac16\frac13\left(\frac12\right)^4=\frac5{54}+\frac5{48}=\frac{85}{432}.$ 1が4回以上続く事象を、1〜4回目、2〜5回目、3〜6回目がすべて1となる事象 $A_1,A_2,A_3$ の和事象 $R$ とする。各 $P(A_i)=1/16$ 、隣接する二事象の共通部分はそれぞれ $1/32$ 、 $P(A_1\cap A_3)=P(A_1\cap A_2\cap A_3)=1/64$ だから、包除原理により $\displaystyle P(R)=\frac3{16}-\left(\frac1{32}+\frac1{32}+\frac1{64}\right)+\frac1{64}=\frac18.$ $R$ のもとでは1でない出目は高々2個である。0個なら全て1で、和は偶数となる確率は $1/64$ 。1個の場合、4連続を保てる位置は1,2,5,6回目であり、和が偶数となる出目は3なので確率は $\displaystyle 4\cdot\frac16(\frac12)^5=1/48$ 。2個の場合、その位置の組は $\{1,2\},\{1,6\},\{5,6\}$ である。和が偶数となるのは両方が2または両方が3のときだから、その確率は $\displaystyle 3\left\{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac16\right)^2\right\}\left(\frac12\right)^4=\frac5{192}.$ よって $P(S\text{ 偶数},R)=1/64+1/48+5/192=1/16$ 、したがって $P(S\text{ 偶数}\mid R)=(1/16)/(1/8)=1/2$ である。

(2) 6進小数を位取りで表すと $\displaystyle 0.24_{(6)}=\frac26+\frac4{6^2}=\frac49.$ 同じ正の数について、 $0.2_{(a)}=2/a$ 、 $0.12_{(b)}=1/b+2/b^2=(b+2)/b^2$ だから $2/a=(b+2)/b^2$ 。 $c=b+2$ とおけば $2(c-2)^2=ac\quad\text{すなわち}\quad c(-2c+8+a)=8.$ $b\ge3$ より $c\ge5$ 。また $a=2c-8+8/c$ が整数なので $8/c$ は整数、すなわち $c$ は8の正の約数である。 $c\ge5$ と合わせて $c=8$ 、ゆえに $a=9,\ b=6$ 。元の等式は $2/9=8/36$ となり、値も一致する。

この問題で使う考え方

独立な試行
組合せ
確率の基本法則
条件付き確率
二進法・位取り記数法
約数・倍数

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