5愛媛大学 2019年 数学 第5問解答・解説

準備（カードの数の素因数の個数による分類）

1から20までの整数を，素因数の個数（重複を込めて数える。これを$\Omega(k)$と書く）で分類する。 $$\begin{array}{c|l|c} \Omega(k) & \text{該当する }k & \text{個数} \\ \hline 0 & 1 & 1 \\ 1\text{（素数）} & 2,3,5,7,11,13,17,19 & 8 \\ 2 & 4=2^2,\ 6=2\cdot3,\ 9=3^2,\ 10=2\cdot5,\ 14=2\cdot7,\ 15=3\cdot5 & 6 \\ 3\text{以上} & 8,12,16,18,20 & 5 \end{array}$$ （合計 $1+8+6+5=20$ で20枚と一致する。）

したがって1回の抽出で出る数を$X$とすると， $$\displaystyle P(\Omega(X)=0)=\frac{1}{20},\quad P(\Omega(X)=1)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},\quad P(\Omega(X)=2)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10},\quad P(\Omega(X)\ge 3)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$

$T_n=X_1X_2\cdots X_n$（$X_1,\dots,X_n$は独立に1から20の一様分布）であり，各$X_i$の素因数分解をそのままつなげたものが$T_n$の素因数分解になるから， $$\Omega(T_n)=\Omega(X_1)+\Omega(X_2)+\cdots+\Omega(X_n)$$ が成り立つ（積の素因数分解は各因数の素因数分解を並べたものだから，これは定義から直接従う）。

また，$1$より大きい整数$k$が素数であることと$\Omega(k)=1$であることは同値であり（$1$は素数ではないので$\Omega(1)=0$），$k$が「素数2個の積」（同じ素数の2乗でもよい）であることと$\Omega(k)=2$であることも同値である。よって $$a_n=P(\Omega(T_n)=1),\qquad b_n=P(\Omega(T_n)=2).$$

各$\Omega(X_i)$は0以上の整数だから，和が1になるのは「ちょうど1個の$X_i$が$\Omega=1$（素数）で，残り全部が$\Omega=0$（つまり1）」の場合に限る（どれか1個でも$\Omega\ge2$なら和はすでに2以上になり得ない）。

同様に，和が2になるのは次の2通りに限る。 (ア) ちょうど1個の$X_i$が$\Omega=2$で，残り全部が$\Omega=0$。 (イ) ちょうど2個の$X_i$が$\Omega=1$で，残り全部が$\Omega=0$。 （どれか1個でも$\Omega\ge3$なら和は2を超えてしまい，また$\Omega=1$の個数と$\Omega=2$の個数の組合せで和が2になるのはこの2通りだけである。）

(1) $n=1$のときは1回しか引かないので，直接 $$\displaystyle a_1=P(X_1\text{が素数})=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},\qquad b_1=P(\Omega(X_1)=2)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.$$

(2) $n=2$のとき。 $a_2$：$X_1,X_2$のうちちょうど1個が素数で他方が1である場合。並べ方は2通りだから $$\displaystyle a_2=2\cdot\frac{8}{20}\cdot\frac{1}{20}=\frac{16}{400}=\frac{1}{25}.$$ $b_2$：$(\Omega(X_1),\Omega(X_2))$の和が2になるのは$(0,2),(2,0),(1,1)$の3パターン。 $$\displaystyle b_2=2\cdot\frac{1}{20}\cdot\frac{6}{20}+\left(\frac{8}{20}\right)^2=\frac{12}{400}+\frac{64}{400}=\frac{76}{400}=\frac{19}{100}.$$

(3) 一般の$n$について，$a_n$は「$n$回のうちどの1回が素数か」を選ぶ場合の数 ${}_n\mathrm{C}_1=n$ 通りで，それ以外の$n-1$回はすべて1（確率$1/20$）だから $$\displaystyle a_n=n\cdot\frac{8}{20}\cdot\left(\frac{1}{20}\right)^{n-1}=\frac{8n}{20^{\,n}}=\frac{2n}{5\cdot 20^{\,n-1}}\qquad(n=1,2,3,\dots).$$ （$n=1$のとき $\displaystyle \frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ となり(1)と一致し，$n=2$のとき $\displaystyle \frac{16}{400}=\frac{1}{25}$ となり(2)と一致する。）

(4) $b_n$は上の(ア)(イ)の場合の確率の和である。

(ア)：$\Omega=2$となる回を選ぶ場合の数は${}_n\mathrm{C}_1=n$通り，残り$n-1$回は1。確率は $$\displaystyle n\cdot\frac{6}{20}\cdot\left(\frac{1}{20}\right)^{n-1}=\frac{6n}{20^{\,n}}.$$

(イ)：$\Omega=1$となる2回を選ぶ場合の数は$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_2=\dfrac{n(n-1)}{2}$通り，残り$n-2$回は1。確率は $$\displaystyle \binom{n}{2}\left(\frac{8}{20}\right)^{2}\left(\frac{1}{20}\right)^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{64}{20^{\,n}}=\frac{32n(n-1)}{20^{\,n}}.$$ （$n=1$のときは${}_n\mathrm{C}_2=0$なのでこの項は自動的に0になり，(ア)だけが残るので(1)の$b_1$と矛盾しない。）

両者を足すと $$\displaystyle b_n=\frac{6n+32n(n-1)}{20^{\,n}}=\frac{32n^{2}-26n}{20^{\,n}}=\frac{2n(16n-13)}{20^{\,n}}\qquad(n=1,2,3,\dots).$$

検算

$n=1$：$\displaystyle \dfrac{2\cdot1\cdot(16-13)}{20}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ で(1)の$b_1$と一致。

$n=2$：$\displaystyle \dfrac{2\cdot2\cdot(32-13)}{400}=\dfrac{76}{400}=\dfrac{19}{100}$ で(2)の$b_2$と一致。

$n=3$の直接検算：$(\Omega(X_1),\Omega(X_2),\Omega(X_3))$の和が2になるのは，どれか1つが2で残り2つが0（$3$通り，確率$\displaystyle \frac{6}{20}\cdot\frac{1}{400}$ずつ）と，どれか2つが1で残り1つが0（$3$通り，確率$\displaystyle \left(\frac{8}{20}\right)^2\cdot\frac{1}{20}$ずつ）の合計 $$\displaystyle 3\cdot\frac{6}{20\cdot400}+3\cdot\frac{64}{400\cdot20}=\frac{18+192}{8000}=\frac{210}{8000}=\frac{21}{800},$$ これは公式 $\displaystyle \dfrac{2\cdot3\cdot(48-13)}{8000}=\dfrac{210}{8000}=\dfrac{21}{800}$ と一致する。以上より結果は妥当である。