金沢大学 2018年数学第1問解答・解説

場合の数と確率数学と人間の活動（整数）図形と方程式

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1問題

金沢大学2018年度第1問

1個のサイコロを4回続けて投げて出た目の数を順に $a,b,c,d$ とおき，2直線 $\ell_1:y=ax+b$ ， $\ell_2:y=cx+d$ を定める。次の問いに答えよ。

(1) $\ell_1$ と $\ell_2$ が一致する確率を求めよ。

(2) $\ell_1$ と $\ell_2$ が1点で交わる確率を求めよ。

(3) $\ell_1$ と $\ell_2$ が1点で交わり，その交点の $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数となる確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{\text{(1)}\space{}\frac{1}{36},\quad \text{(2)}\space{}\frac{5}{6},\quad \text{(3)}\space{}\frac{79}{162}}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{標本数は }6^4=1296\text{ 通り。} \text{(1) 一致条件は }a=c,\ b=d\text{ なので }6\cdot6=36\text{ 通り。確率は }36/1296=1/36. \text{(2) 1点で交わるのは }a\ne c\text{ のとき。したがって確率は }6\cdot5\cdot6^2/1296=5/6. \text{(3) }a\ne c\text{ のとき交点は }x=\frac{d-b}{a-c},\ y=ax+b\text{。}\ \text{a,bは整数であることより }x\text{ が整数なら }y\text{ も整数であり、必要十分条件は }|a-c|\mid(d-b).\text{ }k=|a-c|\ (1\le k\le5)\text{ とすると、傾き対の数は }2(6-k)\text{、切片対の数は }N_k=6+2\sum\limits _{j=1}^{\lfloor5/k\rfloor}(6-jk).\text{ よって }(N_1,N_2,N_3,N_4,N_5)=(36,18,12,10,8).\text{ 有利な場合の数は }10\cdot36+8\cdot18+6\cdot12+4\cdot10+2\cdot8=632\text{。確率は }632/1296=79/162.$

この問題で使う考え方

組合せ
積の法則
約数・倍数
確率の基本法則

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