1山形大学 2019年 数学 第1問解答・解説

・ 全事象は、3個のさいころの目の順序を区別して $6^3=216$ 通りである。各さいころで奇数は $1,3,5$ の3通りなので、すべて奇数となる確率は $$\displaystyle \frac{3^3}{6^3}=\frac{27}{216}=\frac18.$$

・ 積 $abc$ が偶数でも3の倍数でもない場合を数える。積が奇数となるには3個すべてが奇数である。また3の倍数でないには、どのさいころも $3,6$ を出さない。両方を満たす目は各さいころで $1,5$ の2通りだから、該当する組は $2^3=8$ 通りである。よって求める確率は $$\displaystyle 1-\frac8{216}=\frac{208}{216}=\frac{26}{27}.$$

・ 条件 $abc$ が偶数である場合の総数は、少なくとも1個が偶数である組なので $$216-3^3=189.$$ 和 $a+b+c$ が奇数となるには奇数の目が1個または3個必要であるが、積が偶数という条件の下では3個とも奇数にはならない。したがって奇数の目がちょうど1個である。奇数を出すさいころの選び方は3通り、その目は3通り、残る2個のさいころはそれぞれ偶数を3通りずつ出すので、該当数は $$3\cdot3\cdot3^2=81.$$ ゆえに条件付き確率は $$\displaystyle \frac{81}{189}=\frac37.$$

(4) 三角錐は座標軸上の切片が $a,b,c$ であるから $$\displaystyle V=\frac{abc}{6}.$$

・ $V$ が自然数となる条件は $6\mid abc$ である。積が2で割り切れない組は3個とも奇数なので $3^3=27$ 通り。積が3で割り切れない組は各目が $\{1,2,4,5\}$ から選ばれるので $4^3=64$ 通りであり、その両方に当たる組は各目が $\{1,5\}$ から選ばれる $2^3=8$ 通りである。包除原理より $6\mid abc$ の組数は $$216-(27+64-8)=133.$$ したがって確率は $\displaystyle \frac{133}{216}$ である。

・ 条件は $abc>72$ かつ $6\mid abc$ である。さいころの目を小さい順に並べた組と、その順列数を列挙すると $$\begin{array}{c|rrrrrrrr} (a,b,c)&(3,5,6)&(3,6,6)&(4,4,6)&(4,5,6)&(4,6,6)&(5,5,6)&(5,6,6)&(6,6,6)\\ \hline \text{順列数}&6&3&3&6&3&3&3&1 \end{array}$$ となり、該当する順序つき組は $28$ 通りである。よって確率は $$\displaystyle \frac{28}{216}=\frac7{54}.$$