3山形大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle \overrightarrow{OA}=(4,\frac{16}{3},0)$, $\overrightarrow{OB}=(-4,3,0)$ より $$\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{16+\frac{256}{9}}=\frac{20}{3},\qquad |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{16+9}=5,$$ $$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=4(-4)+\frac{16}{3}\cdot3=0.$$ 以下 $\mathbf a=\overrightarrow{OA},\ \mathbf b=\overrightarrow{OB},\ \mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とおく。内分点は $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac13\mathbf a,\qquad \overrightarrow{OE}=\frac{2\mathbf a+\mathbf b}{3},\qquad \overrightarrow{OF}=\frac23\mathbf b.$$

(2) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}$ なので $$\displaystyle \overrightarrow{AF}=-\mathbf a+\frac23\mathbf b.$$ $P$ は直線 $AF$ 上にあるから、ある $t$ について $\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\mathbf a+\frac{2t}{3}\mathbf b$。また $P$ は $DE$ 上にもあるから、ある $u$ について $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{1+u}{3}\mathbf a+\frac{u}{3}\mathbf b$。係数を比較すると $u=2t$、$1-t=(1+u)/3$ より $t=2/5$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac35\mathbf a+\frac4{15}\mathbf b.$$

(3) $Q$ は $OE$ 上にあるので $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\lambda}{3}(2\mathbf a+\mathbf b)$ とおく。また $Q$ は $DF$ 上にあるので、ある $v$ について $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{1-v}{3}\mathbf a+\frac{2v}{3}\mathbf b.$$ 係数比較から $\lambda=2v$、$1-v=2\lambda$ となり、$v=1/5,\lambda=2/5$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac4{15}\mathbf a+\frac2{15}\mathbf b.$$ $R$ は $CQ$ の中点、$CS:SP=1:3$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac12(\mathbf c+\overrightarrow{OQ})=\frac2{15}\mathbf a+\frac1{15}\mathbf b+\frac12\mathbf c,$$ $$\displaystyle \overrightarrow{OS}=\frac{3\mathbf c+\overrightarrow{OP}}4=\frac3{20}\mathbf a+\frac1{15}\mathbf b+\frac34\mathbf c.$$

(4) $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$、また $\mathbf c$ は $xy$ 平面に垂直なので $\mathbf a\cdot\mathbf c=\mathbf b\cdot\mathbf c=0$。$\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b$、$|\mathbf b|^2=25$ より $$\displaystyle 0=\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac34c^2-\frac1{15}|\mathbf b|^2=\frac34c^2-\frac53.$$ $c>0$ だから $\displaystyle c^2=\frac{20}{9}$ より $\displaystyle c=\frac{2\sqrt5}{3}$。