6山形大学 2019年 数学 第6問解答・解説

・ 双曲線上の点なので $$\displaystyle \frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}-1.$$ 直線の方程式は $$\displaystyle AP:\ y=\frac{y_1}{x_1-a}(x-a),\qquad BQ:\ y=-\frac{y_1}{x_1+a}(x+a).$$ これらを連立し、$y_1\ne0$ を用いると $x_1x=a^2$ となる。これを直線 $AP$ に代入すれば $$\displaystyle R=\left(\frac{a^2}{x_1},-\frac{ay_1}{x_1}\right).$$

・ $R=(x,y)$ とおくと $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =\frac{a^2}{x_1^2}\left(1+\frac{y_1^2}{b^2}\right) =\frac{a^2}{x_1^2}\cdot\frac{x_1^2}{a^2}=1.$$ また $|x_1|>a$ より $0<|x|=a^2/|x_1|<a$ であり、$y_1\ne0$ から $y\ne0$ である。逆に、この楕円上で $x\ne0,\ y\ne0$ を満たす点に対し $x_1=a^2/x,\ y_1=-ay/x$ とおけば $|x_1|>a$ かつ $\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$ となる。したがって軌跡は $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 上から座標軸上の4頂点を除いた図形である。

・ $x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi$ を代入すると $$\displaystyle r^2\left(\frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2}\right)=1, \qquad r=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\phi+a^2\sin^2\phi}}.$$ 軌跡では軸上の点を除くので $\phi\not\equiv k\pi/2\pmod{2\pi}$ である。

・ 交点の偏角を $\phi$ とすると、点が $L$ と $L(\theta)$ の両方に属する条件は、半径が一致すること、すなわち $$\displaystyle \frac{\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\phi}{b^2} =\frac{\cos^2(\phi-\theta)}{a^2}+\frac{\sin^2(\phi-\theta)}{b^2}$$ である。$a\ne b$ より $\cos^2\phi=\cos^2(\phi-\theta)$ となり、 $$\displaystyle \phi=\frac{\theta}{2}+\frac{k\pi}{2}\quad(k=0,1,2,3)$$ を得る。これらはどれも除外された軸上の点ではないため $n=4$。半径は $k$ が偶数のとき $$\displaystyle r_A=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2(\theta/2)+a^2\sin^2(\theta/2)}},$$ 奇数のとき $$\displaystyle r_B=\frac{ab}{\sqrt{b^2\sin^2(\theta/2)+a^2\cos^2(\theta/2)}}$$ である。偏角の昇順に並べると、求める極座標は $$(r_A,\theta/2),\ (r_B,\theta/2+\pi/2),\ (r_A,\theta/2+\pi),\ (r_B,\theta/2+3\pi/2).$$

・ 隣り合う頂点の偏角の差はすべて $\pi/2$ である。原点を結んで4つの三角形に分けると、各三角形の面積は $\displaystyle \frac12r_Ar_B\sin(\pi/2)$ なので、四角形の面積は $$\displaystyle S=2r_Ar_B=\frac{2}{\sqrt{C_A C_B}}, \quad C_A=\frac{\cos^2(\theta/2)}{a^2}+\frac{\sin^2(\theta/2)}{b^2},\quad C_B=\frac{\sin^2(\theta/2)}{a^2}+\frac{\cos^2(\theta/2)}{b^2}.$$ $u=\cos^2(\theta/2),\ v=\sin^2(\theta/2)$ とおくと $$\displaystyle C_A C_B=\frac1{a^2b^2}+uv\left(\frac1{a^2}-\frac1{b^2}\right)^2.$$ $a\ne b$ であり、$\displaystyle uv=\frac14\sin^2\theta\le\frac14$ は $\theta=\pi/2$ のとき最大となる。よって $S$ はこのとき最小であり、 $$\displaystyle S_{\min}=\frac{2}{\sqrt{\frac14(1/a^2+1/b^2)^2}} =\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}.$$