10東邦大学 2019年 数学 第10問解答・解説

球の中心を $O=(0,0,0)$、与点を $P=(0,1,2)$ とする。接点 $T=(x,y,z)$ では半径 $OT$ と接線 $PT$ が垂直なので $$|T|^2=3,\qquad (P-T)\mathbin{\cdot}T=0,$$ すなわち $P\mathbin{\cdot}T=3$ である。接点全体は球面と平面 $P\mathbin{\cdot}T=3$ の交わりである円となる。平面と原点との距離は $3/|P|=3/\sqrt5$ だから、この円の半径の二乗は $$\displaystyle 3-\left(\frac3{\sqrt5}\right)^2=\frac65.$$ よって面積は $6\pi/5$ である。

平面 $z=0$ 上の点を $Q=(u,v,0)$ とし、直線 $PQ$ の方向ベクトルを $d=(u,v-1,-2)$ とする。原点からこの直線までの距離の二乗は $$\displaystyle |P|^2-\frac{(P\mathbin{\cdot}d)^2}{|d|^2} =5-\frac{(v-5)^2}{u^2+(v-1)^2+4}.$$ この直線が球に接する条件はこの値が3となることなので、整理して $$\displaystyle 2u^2+(v+3)^2=24, \qquad \frac{u^2}{12}+\frac{(v+3)^2}{24}=1.$$ したがって交点全体は半径（半軸）が $\sqrt{12},\sqrt{24}$ の楕円であり、その面積は $$\pi\sqrt{12\cdot24}=12\sqrt2\,\pi.$$